Radicali - razionalizzazione al denominatore

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Radicali - razionalizzazione al denominatore #13867

avt
marklycons
Cerchio
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con la razionalizzazione di un radicale? Si tratta di una frazione in cui devo eliminare la radice a denominatore

(a√(b)+b√(a))/(√(ab))

Grazie in anticipo emt
 
 

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13875

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marklycons, facciamo riferimento ad una delle tecniche di razionalizzazione più comuni

(a√(b)+b√(a))/(√(ab))

per semplificare l'espressione dobbiamo osservare che

a = √(a)√(a)

b = √(b)√(b)

quindi possiamo riscrivere l'espressione come

(√(a)√(a)√(b)+√(b)√(b)√(a))/(√(ab))

ora possiamo raccogliere √(a)√(b) a numeratore. Nota che, evidentemente

√(a)√(b) = √(ab)

per cui l'espressione diventa

(√(ab)[√(a)+√(b)])/(√(ab))

e, semplificando, rimane

√(a)+√(b)

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13876

avt
marklycons
Cerchio
perche sia per a che per b è 2 volte la radice quadrata?

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13877

avt
Omega
Amministratore
Per definizione di radice quadrata: la radice quadrata di un numero, se esiste, è definita come elevamento alla 1/2

√(a) = a^((1)/(2))

come ad esempio spieghiamo qui: potenze con esponente frazionario.

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere

a = a^1 = a^((1)/(2)+(1)/(2)) = a^((1)/(2))·a^((1)/(2)) = √(a)√(a)

cioè: ogni numero (non negativo!) può essere scritto come prodotto della radice quadrata del numero stesso con sé stessa. Ti torna?
Ringraziano: Pi Greco

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13880

avt
marklycons
Cerchio
Oh si, grazie mille emt

Un'altra cosa piccolissima, se è possibile: se si pone il caso

(a-[3]√(a^2))/([3]√(a^2))

io lo risolvo rispettando il fattore razionalizzante, ossia (3-2=1), lo moltiplico sia al numeratore che al denominatore, però quando opero con la moltiplicazione non riesco ad andare avanti.

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13881

avt
Omega
Amministratore
Nel caso di

(a-[3]√(a^2))/([3]√(a^2))

procedendo per razionalizzazione, e dunque moltiplicando numeratore e denominatore per [3]√(a), si ottiene

(a-[3]√(a^2))/([3]√(a^2))([3]√(a))/([3]√(a)) = (a[3]√(a)-[3]√(a^3))/([3]√(a^3)) = (a[3]√(a)-a)/(a) = [3]√(a)-1
Ringraziano: Pi Greco, marklycons

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13882

avt
marklycons
Cerchio
Grazie ancora emt
Ringraziano: Omega

Re: Radicali - razionalizzazione al denominatore #13885

avt
marklycons
Cerchio
Scusa ma mi sovviene un'altro problema :(

Se invece abbiamo

([3]√(ab^2)+[3]√(a^2b))/([3]√(ab))

come si risolve?

Re: Radicali - razionalizzazione al denominatore #13892

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

Anche in questo caso si razionalizza, moltiplicando e dividendo per [3]√(a^2b^2)

([3]√(ab^2)+[3]√(a^2b))/([3]√(ab)) =

([3]√(ab^2)+[3]√(a^2b))/([3]√(ab))([3]√(a^2b^2))/([3]√(a^2b^2)) =

([3]√(a^3b^4)+[3]√(a^4b^3))/([3]√(a^3b^3)) =

Ora scriviamo il tutto come

([3]√(a^3b^3·b)+[3]√(a^3b^3·a))/(ab) =

e quindi otteniamo

(ab[3]√(b)+ab[3]√(a))/(ab) =

dividiamo termine a termine

[3]√(b)+[3]√(a)

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco, marklycons
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