Radicali - razionalizzazione al denominatore

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Radicali - razionalizzazione al denominatore #13867

avt
marklycons
Cerchio
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con la razionalizzazione di un radicale? Si tratta di una frazione in cui devo eliminare la radice a denominatore

\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}

Grazie in anticipo emt
 
 

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13875

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marklycons, facciamo riferimento ad una delle tecniche di razionalizzazione più comuni

\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}

per semplificare l'espressione dobbiamo osservare che

a=\sqrt{a}\sqrt{a}

b=\sqrt{b}\sqrt{b}

quindi possiamo riscrivere l'espressione come

\frac{\sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}

ora possiamo raccogliere \sqrt{a}\sqrt{b} a numeratore. Nota che, evidentemente

\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}

per cui l'espressione diventa

\frac{\sqrt{ab}[\sqrt{a}+\sqrt{b}]}{\sqrt{ab}}

e, semplificando, rimane

\sqrt{a}+\sqrt{b}

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13876

avt
marklycons
Cerchio
perche sia per a che per b è 2 volte la radice quadrata?

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13877

avt
Omega
Amministratore
Per definizione di radice quadrata: la radice quadrata di un numero, se esiste, è definita come elevamento alla 1/2

\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

come ad esempio spieghiamo qui: potenze con esponente frazionario.

Per le proprietà delle potenze possiamo scrivere

a=a^1=a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\sqrt{a}

cioè: ogni numero (non negativo!) può essere scritto come prodotto della radice quadrata del numero stesso con sé stessa. Ti torna?
Ringraziano: Pi Greco

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13880

avt
marklycons
Cerchio
Oh si, grazie mille emt

Un'altra cosa piccolissima, se è possibile: se si pone il caso

\frac{a-\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}

io lo risolvo rispettando il fattore razionalizzante, ossia (3-2=1), lo moltiplico sia al numeratore che al denominatore, però quando opero con la moltiplicazione non riesco ad andare avanti.

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13881

avt
Omega
Amministratore
Nel caso di

\frac{a-\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}

procedendo per razionalizzazione, e dunque moltiplicando numeratore e denominatore per \sqrt[3]{a}, si ottiene

\frac{a-\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2}}\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}}=\frac{a\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{a^3}}=\frac{a\sqrt[3]{a}-a}{a}=\sqrt[3]{a}-1
Ringraziano: Pi Greco, marklycons

Radicali - razionalizzazione al denominatore #13882

avt
marklycons
Cerchio
Grazie ancora emt
Ringraziano: Omega

Re: Radicali - razionalizzazione al denominatore #13885

avt
marklycons
Cerchio
Scusa ma mi sovviene un'altro problema :(

Se invece abbiamo

\frac{\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}}

come si risolve?

Re: Radicali - razionalizzazione al denominatore #13892

avt
Omega
Amministratore
Ok emt

Anche in questo caso si razionalizza, moltiplicando e dividendo per \sqrt[3]{a^2b^2}

\frac{\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}}=

\frac{\sqrt[3]{ab^2}+\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{ab}}\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}=

\frac{\sqrt[3]{a^3b^4}+\sqrt[3]{a^4b^3}}{\sqrt[3]{a^3b^3}}=

Ora scriviamo il tutto come

\frac{\sqrt[3]{a^3b^3\cdot b}+\sqrt[3]{a^3b^3\cdot a}}{ab}=

e quindi otteniamo

\frac{ab\sqrt[3]{b}+ab\sqrt[3]{ a}}{ab}=

dividiamo termine a termine

\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{a}

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco, marklycons
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