Esercizio: scomposizione binomio con termini di grado 4

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio: scomposizione binomio con termini di grado 4 #13826

avt
b.orisio
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre un binomio formato dalla somma di due potenze ottave. Da quello che ho capito, dovrei usare la tecnica di scomposizione per la somma di potenze quarte, però non ho capito come fare. Potreste aiutarmi, per favore?

Fattorizzare il seguente binomio nel prodotto di polinomi a coefficienti reali.

625x^8+16y^8

Grazie mille.
 
 

Esercizio: scomposizione binomio con termini di grado 4 #13832

avt
Omega
Amministratore
Per fattorizzare il binomio

625x^8+16y^8

nel prodotto di polinomi a coefficienti reali, possiamo usare la medesima tecnica di scomposizione per la somma di potenze quarte. Il primo passo prevede di usare le proprietà delle potenze per esprimere

625x^8+16y^8=

nella somma di due quadrati: possiamo farlo perché 625x^8 è il quadrato di 25x^4, così come 16y^8 è quello di 4y^4.

=(25x^4)^2+(4y^4)^2=

Procediamo aggiungendo e sottraendo il doppio prodotto delle basi 25x^4\ \mbox{e} \ 4y^4, in questo modo completiamo il quadrato di 25x^4+4y^4

=(25x^4)^2+(4y^4)^2+200x^4y^4-200x^4y^4=

I primi tre addendi costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio 25x^4+4y^4, per cui possono essere rimpiazzati con (25x^4+4y^4)^2

=(25x^4+4y^4)^2-200x^4y^4

Sfruttando le proprietà delle potenze, in combinazione con le proprietà dei radicali, siamo in grado di esprimere 200x^4y^4 nel quadrato di 10\sqrt{2}x^2y^2, infatti:

200x^4y^4=(\sqrt{200})^2(x^2)^2(y^2)^2=(10\sqrt{2}x^2y^2)^2

Se rimpiazziamo 200x^4y^4 con (10\sqrt{2}x^2y^2)^2 nell'espressione:

(25x^4+4y^4)^2-200x^4y^4=

essa si tramuta nella differenza di due quadrati

=(25x^4+4y^4)^2-(10\sqrt{2}x^2y^2)^2=

che può essere scomposta nel prodotto tra la somma delle basi per la loro differenza, vale a dire:

=(25x^4+4y^4+10\sqrt{2}x^2y^2)(25x^4+4y^4-10\sqrt{2}x^2y^2)

che rappresenta la scomposizione del binomio dato.
Ringraziano: Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os