Equazione irrazionale nelle incognite x, y

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Equazione irrazionale nelle incognite x, y #13476

avt
cicchibio
Cerchio
Mi è capitato un esercizio davvero particolare che mi chiede di risolvere un'equazione irrazionale in due variabili rispetto a una. Come dovrei procedere? Devo imporre la condizione di concordanza anche in questi casi?

Risolvere la seguente equazione irrazionale rispetto alla variabile x

\sqrt{4y^2-x^2}=x

Grazie.
 
 

Equazione irrazionale nelle incognite x, y #13479

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione in due incognite

\sqrt{4y^2-x^2}=x

dobbiamo ricalcare la strategia risolutiva delle equazioni irrazionali.

Dobbiamo imporre:

- la condizione di esistenza della radice quadrata, richiedendo che il radicando sia non negativo

4y^2-x^2\ge 0

- la condizione di concordanza dei membri. Poiché il primo membro è certamente non negativo, dovrà esserlo anche il secondo

x\ge 0

Infine eleviamo i due membri al quadrato così da sbarazzarci della radice

4y^2-x^2=x^2 \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-4y^2=0

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente, per cui costituiscono il sistema di disequazioni

\begin{cases}4y^2-x^2\ge 0 \\ x\ge 0 \\ 2x^2-4y^2=0\end{cases}

Lasciamo la prima relazione così com'è: è più comodo lavorare avendo la disequazione in questa forma.

La seconda è ovvia, mentre la terza si risolve scomponendo la differenza di quadrati

\\ 2x^2-4y^2=0 \ \ \ \to \ \ \ 2(x^2-2y^2)=0

da cui

2(x+\sqrt{2}y)(x-\sqrt{2}y)=0

e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, con la quale l'equazione si spezza nelle seguenti

x+\sqrt{2}y=0 \ \ \ \vee \ \ \ x-\sqrt{2}y=0

Se isoliamo x ai primi membri, otteniamo

x=-\sqrt{2}y \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{2}y

Attenzione! Le due soluzioni devono soddisfare le altre relazioni che compongono il sistema, in caso contrario sono falsi positivi e sono da scartare.

Se x=-\sqrt{2}y, allora le disequazioni

4y^2-x^2\ge 0 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ x\ge 0

si tramutano nelle seguenti:

\bullet \ \ \ 4y^2-(-\sqrt{2}y)^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 2y^2\ge 0

che è soddisfatta per ogni y\in\mathbb{R};

\bullet \ \ \ x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -\sqrt{2}y\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ y\le 0

Deduciamo che x=-\sqrt{2}y è soluzione dell'equazione irrazionale se e solo se y\le 0.

Se x=\sqrt{2}y, le prime due disequazioni del sistema diventano

\bullet \ \ \ 4y^2-(\sqrt{2}y)^2\ge 0\ \ \ \to \ \ \ 2y^2\ge 0

che è soddisfatta per ogni y\in\mathbb{R};

\bullet \ \ \ x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{2}y\ge 0

soddisfatta per y\ge 0.

Ne consegue che x=\sqrt{2}y è soluzione del sistema se e solo se y\ge 0.


Conclusioni

L'equazione irrazionale in due incognite

\sqrt{4y^2-x^2}=x

è soddisfatta da

\bullet \ \ \  x=-\sqrt{2}y\ \ \ \mbox{per}\ y\le 0;

\bullet \ \ \ x=\sqrt{2}y\ \ \ \mbox{per} \ y\ge 0.

Dal punto di vista geometrico, l'equazione \sqrt{4y^2-x^2}=x individua i punti del piano che compongono due semirette uscenti dall'origine, descritte dalle relazioni:

\\ r: \  x=-\sqrt{2}y \ \ \ \mbox{con} \ y\le 0\\ \\ s:\ x=\sqrt{2}y \ \ \ \mbox{con} \ y\ge 0

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, cicchibio
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Os