Scomposizione di trinomio con numeri periodici

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Scomposizione di trinomio con numeri periodici #13444

avt
Wall
Cerchio
Mi serve una mano per scomporre un polinomio a coefficienti decimali periodici. È da molto tempo che non tratto i numeri periodici e non ricordo più come gestirli, l'unica cosa certa è che devo usare il prodotto notevole relativo al quadrato di un binomio.

Scomporre il seguente polinomio a coefficienti decimali periodici.

0,\bar{1}x^2-0,\bar{3}x+0,25

Spero possiate aiutarmi, grazie.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Scomposizione di trinomio con numeri periodici #13469

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo il trinomio

0,\bar{1}x^2-0,\bar{3}x+0,25

Il nostro compito consiste nell'esprimerlo come prodotto di polinomi di grado inferiore: in termini più espliciti, dobbiamo scomporre il polinomio. Prima di dedicarci alla scomposizione, è necessario esprimere i numeri decimali nelle rispettive frazioni generatrici.

La frazione generatrice associata al numero periodico semplice 0,\bar{1} ha per numeratore il numero senza la virgola e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre che compongono il periodo, nel caso considerato, solo 1.

0,\bar{1}=\frac{1}{9}

Procediamo allo stesso modo per 0,\bar{3} e riduciamo la frazione ai minimi termini

0,\bar{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}

Per quanto concerne la frazione generatrice del numero decimale 0,25 sarà sufficiente considerare la frazione che ha al numeratore il numero senza la virgola, e a denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}

In definitiva, siamo autorizzati a scrivere la seguente uguaglianza

0,\bar{1}x^2-0,\bar{3}x+0,25=\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}

Siamo a un passo dalla soluzione: basta osservare infatti che il trinomio ottenuto non è altri che lo sviluppo del quadrato del binomio \frac{1}{3}x-\frac{1}{2}, infatti:

- il termine \frac{1}{9}x^2 è il quadrato di \frac{1}{3}x;

- il termine \frac{1}{4} è il quadrato di \frac{1}{2};

- il termine -\frac{1}{3}x è uguale (a meno del segno) al doppio prodotto tra \frac{1}{3}x \ \mbox{e} \ \frac{1}{2}, come dimostrato dai seguenti passaggi algebrici:

2\cdot\frac{1}{3}x\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}x

Grazie alla regola sul quadrato di un binomio, possiamo infine scrivere la scomposizione richiesta

\\ 0,\bar{1}x^2-0,\bar{3}x+0,25=\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}\right)^2
Ringraziano: Pi Greco, matteo, Wall
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