Scopo dell'esercizio è
scomporre il polinomio
come prodotto di fattori irriducibili. In effetti, esso è la differenza di due termini elevati alla sesta, tuttavia le
proprietà delle potenze ci autorizzano a riscriverlo come la
differenza di due cubi.
Ricordiamo che la differenza di cubi è un
prodotto notevole mediante il quale è possibile fattorizzare il binomio

come il prodotto di due polinomi:
- il
binomio formato dalla differenza delle basi dei due cubi;
- il
trinomio formato dal quadrato della base del primo termine, dal quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.
In formule matematiche:
Chiaramente, questa relazione diventa veramente utile nel momento in cui sono note le espressioni da attribuire ad

.
Dopo la parentesi teorica, torniamo all'esercizio e usiamo la regola sulla
potenza di una potenza sia su

, sia su
Dall'ultima espressione, ricaviamo le basi dei due cubi, vale a dire

e sfruttiamo la regola di scomposizione:
Il primo fattore si può scomporre ulteriormente mediante il prodotto notevole sulla
differenza di quadrati, mentre il secondo si semplifica con le onnipresenti proprietà delle potenze
Il polinomio tra parentesi quadrate può essere ulteriormente scomposto, però bisogna usare un piccolo stratagemma: bisogna sommare e sottrarre
osservare che

non è altro che il
quadrato del binomio
e usare nuovamente la regola sulla differenza di quadrati.
Il terzo e il quarto fattore della scomposizione sono
falsi quadrati e in quanto tali risultano irriducibili, pertanto l'ultima espressione rappresenta la fattorizzazione del polinomio dato.