Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati

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Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati #13121

semiramis Punto	Mi servirebbe una mano per scomporre un polinomio di sesto grado con le opportune tecniche di fattorizzazione. Sebbene abbia imparato pressoché tutte le tecniche di scomposizione e abbia svolto tutti gli esercizi precedenti, questo non riesco proprio a svolgerlo. Scomporre il seguente polinomio, usando le tecniche di fattorizzazione opportune. $a^{6}-b^{6}$ Grazie.

Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati #13124

Ifrit

Amministratore

Scopo dell'esercizio è scomporre il polinomio

$a^{6}-b^{6}$

come prodotto di fattori irriducibili. In effetti, esso è la differenza di due termini elevati alla sesta, tuttavia le proprietà delle potenze ci autorizzano a riscriverlo come la differenza di due cubi.

Ricordiamo che la differenza di cubi è un prodotto notevole mediante il quale è possibile fattorizzare il binomio

come il prodotto di due polinomi:

- il binomio formato dalla differenza delle basi dei due cubi;

- il trinomio formato dal quadrato della base del primo termine, dal quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.

In formule matematiche:

Chiaramente, questa relazione diventa veramente utile nel momento in cui sono note le espressioni da attribuire ad $A\ \mbox{e a} \ B$ .

Dopo la parentesi teorica, torniamo all'esercizio e usiamo la regola sulla potenza di una potenza sia su $a^{6}$ , sia su $b^{6}$

$a^{6}-b^{6}=a^{2\cdot 3}-b^{2\cdot 3}=(a^2)^3-(b^{2})^3=$

Dall'ultima espressione, ricaviamo le basi dei due cubi, vale a dire $a^2 \ \mbox{e} \ b^2$ e sfruttiamo la regola di scomposizione:

$=(a^2-b^2)\left[(a^2)^2+a^2b^2+(b^2)^2\right]=$

Il primo fattore si può scomporre ulteriormente mediante il prodotto notevole sulla differenza di quadrati, mentre il secondo si semplifica con le onnipresenti proprietà delle potenze

$=(a-b)(a+b)\left[a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}\right]=$

Il polinomio tra parentesi quadrate può essere ulteriormente scomposto, però bisogna usare un piccolo stratagemma: bisogna sommare e sottrarre $a^{2}b^{2}$

$\\ =(a-b)(a+b)\left[a^{4}+a^{2}b^{2}+a^{2}b^2+b^{4}-a^{2}b^2\right]= \\ \\ =(a-b)(a+b)\left[a^{4}+2a^{2}b^2+b^{4}-a^{2}b^2\right]=$

osservare che

non è altro che il quadrato del binomio

$=(a-b)(a+b)\left[(a^2+b^2)^2-a^{2}b^2\right]=$

e usare nuovamente la regola sulla differenza di quadrati.

Il terzo e il quarto fattore della scomposizione sono falsi quadrati e in quanto tali risultano irriducibili, pertanto l'ultima espressione rappresenta la fattorizzazione del polinomio dato.

Ringraziano: Omega, semiramis

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