Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati

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Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati #13121

avt
semiramis
Punto
Mi servirebbe una mano per scomporre un polinomio di sesto grado con le opportune tecniche di fattorizzazione. Sebbene abbia imparato pressoché tutte le tecniche di scomposizione e abbia svolto tutti gli esercizi precedenti, questo non riesco proprio a svolgerlo.

Scomporre il seguente polinomio, usando le tecniche di fattorizzazione opportune.

a^(6)-b^(6)

Grazie.
 
 

Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati #13124

avt
Ifrit
Amministratore
Scopo dell'esercizio è scomporre il polinomio

a^(6)-b^(6)

come prodotto di fattori irriducibili. In effetti, esso è la differenza di due termini elevati alla sesta, tuttavia le proprietà delle potenze ci autorizzano a riscriverlo come la differenza di due cubi.

Ricordiamo che la differenza di cubi è un prodotto notevole mediante il quale è possibile fattorizzare il binomio A^3-B^3 come il prodotto di due polinomi:

- il binomio formato dalla differenza delle basi dei due cubi;

- il trinomio formato dal quadrato della base del primo termine, dal quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.

In formule matematiche:

A^3-B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)

Chiaramente, questa relazione diventa veramente utile nel momento in cui sono note le espressioni da attribuire ad A e a B.

Dopo la parentesi teorica, torniamo all'esercizio e usiamo la regola sulla potenza di una potenza sia su a^(6), sia su b^(6)

a^(6)-b^(6) = a^(2·3)-b^(2·3) = (a^2)^3-(b^(2))^3 =

Dall'ultima espressione, ricaviamo le basi dei due cubi, vale a dire a^2 e b^2 e sfruttiamo la regola di scomposizione:

= (a^2-b^2)[(a^2)^2+a^2b^2+(b^2)^2] =

Il primo fattore si può scomporre ulteriormente mediante il prodotto notevole sulla differenza di quadrati, mentre il secondo si semplifica con le onnipresenti proprietà delle potenze

= (a-b)(a+b)[a^(4)+a^(2)b^(2)+b^(4)] =

Il polinomio tra parentesi quadrate può essere ulteriormente scomposto, però bisogna usare un piccolo stratagemma: bisogna sommare e sottrarre a^(2)b^(2)

 = (a-b)(a+b)[a^(4)+a^(2)b^(2)+a^(2)b^2+b^(4)-a^(2)b^2] = (a-b)(a+b)[a^(4)+2a^(2)b^2+b^(4)-a^(2)b^2] =

osservare che a^4+2a^2b^2+b^4 non è altro che il quadrato del binomio a^2+b^2

= (a-b)(a+b)[(a^2+b^2)^2-a^(2)b^2] =

e usare nuovamente la regola sulla differenza di quadrati.

= (a-b)(a+b)(a^2+b^2+a b)(a^2+b^2-ab)

Il terzo e il quarto fattore della scomposizione sono falsi quadrati e in quanto tali risultano irriducibili, pertanto l'ultima espressione rappresenta la fattorizzazione del polinomio dato.
Ringraziano: Omega, semiramis
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Os