Polinomio con differenza di cubi e differenza di quadrati

Mi servirebbe una mano per scomporre un polinomio di sesto grado con le opportune tecniche di fattorizzazione. Sebbene abbia imparato pressoché tutte le tecniche di scomposizione e abbia svolto tutti gli esercizi precedenti, questo non riesco proprio a svolgerlo.

Scomporre il seguente polinomio, usando le tecniche di fattorizzazione opportune.



Grazie.

Scopo dell'esercizio è scomporre il polinomio



come prodotto di fattori irriducibili. In effetti, esso è la differenza di due termini elevati alla sesta, tuttavia le proprietà delle potenze ci autorizzano a riscriverlo come la differenza di due cubi.

Ricordiamo che la differenza di cubi è un prodotto notevole mediante il quale è possibile fattorizzare il binomio come il prodotto di due polinomi:

- il binomio formato dalla differenza delle basi dei due cubi;

- il trinomio formato dal quadrato della base del primo termine, dal quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.

In formule matematiche:



Chiaramente, questa relazione diventa veramente utile nel momento in cui sono note le espressioni da attribuire ad .

Dopo la parentesi teorica, torniamo all'esercizio e usiamo la regola sulla potenza di una potenza sia su , sia su



Dall'ultima espressione, ricaviamo le basi dei due cubi, vale a dire e sfruttiamo la regola di scomposizione:



Il primo fattore si può scomporre ulteriormente mediante il prodotto notevole sulla differenza di quadrati, mentre il secondo si semplifica con le onnipresenti proprietà delle potenze



Il polinomio tra parentesi quadrate può essere ulteriormente scomposto, però bisogna usare un piccolo stratagemma: bisogna sommare e sottrarre



osservare che non è altro che il quadrato del binomio



e usare nuovamente la regola sulla differenza di quadrati.



Il terzo e il quarto fattore della scomposizione sono falsi quadrati e in quanto tali risultano irriducibili, pertanto l'ultima espressione rappresenta la fattorizzazione del polinomio dato.