Equazione fratta di primo grado con frazioni di frazioni

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Equazione fratta di primo grado con frazioni di frazioni #13017

904 Sfera	Dovrei risolvere un'equazione fratta di primo grado con le frazioni di frazioni, ma riscontro molte difficoltà nei calcoli. L'equazione risulta impossibile e non capisco come sia possibile. Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione fratta di primo grado $\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=0$

Equazione fratta di primo grado con frazioni di frazioni #13025

frank094

Maestro

Per studiare l'equazione fratta di primo grado

$\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=0$

bisogna innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza, porgendo la massima attenzione ai denominatori principali delle frazioni di frazioni.

Affinché l'equazione abbia senso, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, vale a dire:

$x\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ 1-\frac{1}{x}\ne 0 \ \ \ ; \ \ \ 1+\frac{1}{x}\ne 0$

La prima relazione è già bella e pronta, mentre le altre due richiedono qualche passaggio algebrico in più.

La condizione

$1-\frac{1}{x}\ne 0$

si esprime nella forma equivalente

$\frac{1-x}{x}\ne 0$

da cui

$x\ne 1\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x\ne 0$

Procediamo allo stesso modo anche per la disuguaglianza

$1+\frac{1}{x}\ne 0$

che diventa

$\frac{x+1}{x}\ne 0$

da cui

$x\ne -1 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ x\ne 0$

Possiamo dunque affermare che l'insieme dei valori per cui l'equazione ha senso è:

$C.E.: \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 0 \ \wedge \ x\ne 1$

Noto l'insieme di esistenza, eseguiamo i passaggi algebrici così da rendere l'equazione fratta in forma canonica. Per prima cosa eseguiamo sommiamo le frazioni algebriche ai numeratori e denominatori principali

$\dfrac{\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x-1}{x}}-\dfrac{\dfrac{x-1}{x}}{\dfrac{x+1}{x}}=0$

dopodiché esprimiamo le frazioni di frazioni in forma normale moltiplicando i numeratori principali per il reciproco dei rispettivi denominatori

$\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{x-1}-\frac{x-1}{x}\cdot\frac{x}{x+1}=0$

A questo punto possiamo semplificare in croce e ottenere

$(x+1)\cdot\frac{1}{x-1}-(x-1)\cdot\frac{1}{x+1}=0$

da cui

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=0$

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed esprimiamo il primo membro sotto forma di unico rapporto

$\frac{(x+1)\cdot(x+1)-(x-1)\cdot(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0$

In forza della definizione di potenza, possiamo esprimere l'equazione come

$\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}=0$

Sviluppiamo i quadrati di binomio a numeratore

$\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{(x-1)(x+1)}=0$

e grazie alla regola dei segni ricaviamo:

$\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{(x-1)(x+1)}=0$

Sommiamo tra loro i monomi simili

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)}=0$

e cancelliamo il denominatore che ormai ha concluso il suo compito

$4x=0 \ \ \to \ \ x=0$

Attenzione! Il valore ottenuto non è accettabile come soluzione perché viola le condizioni di esistenza $(x\ne 0)$ , ecco perché concludiamo che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto: $S=\emptyset$ .

Ringraziano: Omega, Pi Greco, 904

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