Per studiare l'
equazione fratta di primo grado
bisogna innanzitutto imporre le opportune
condizioni di esistenza, porgendo la massima attenzione ai denominatori principali delle
frazioni di frazioni.
Affinché l'equazione abbia senso, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero, vale a dire:
La prima relazione è già bella e pronta, mentre le altre due richiedono qualche passaggio algebrico in più.
La condizione
si esprime nella forma equivalente
da cui
Procediamo allo stesso modo anche per la disuguaglianza
che diventa
da cui
Possiamo dunque affermare che l'insieme dei valori per cui l'equazione ha senso è:
Noto l'insieme di esistenza, eseguiamo i passaggi algebrici così da rendere l'equazione fratta in forma canonica. Per prima cosa eseguiamo sommiamo le frazioni algebriche ai numeratori e denominatori principali
dopodiché esprimiamo le frazioni di frazioni in forma normale moltiplicando i numeratori principali per il
reciproco dei rispettivi denominatori
A questo punto possiamo semplificare in croce e ottenere
da cui
Calcoliamo il
minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore ed esprimiamo il primo membro sotto forma di unico rapporto
In forza della definizione di
potenza, possiamo esprimere l'equazione come
Sviluppiamo i
quadrati di binomio a numeratore
e grazie alla
regola dei segni ricaviamo:
Sommiamo tra loro i
monomi simili
e cancelliamo il denominatore che ormai ha concluso il suo compito
Attenzione! Il valore ottenuto non è accettabile come soluzione perché viola le condizioni di esistenza

, ecco perché concludiamo che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'
insieme vuoto:

.