Scomporre il polinomio a^4+b^4

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Scomporre il polinomio a^4+b^4 #12826

avt
beshawytwadross
Banned
Ero convinto che la somma di due potenze quarte fosse irriducibile, invece mi è capitato un esercizio in cui mi veniva chiesto di scomporne una. Sinceramente non capisco come si possa fare, potreste aiutarmi?

Scomporre la seguente somma di potenze quarte nel prodotto di polinomi a coefficienti reali.

a^4+b^4

Grazie mille.
 
 

Scomporre il polinomio a^4+b^4 #12837

avt
Pi Greco
Kraken
Osserviamo che il polinomio di cui vogliamo determinare la scomposizione, ossia:

a^4+b^4

è la somma di due potenze quarte.

Il primo passo prevede di usare le proprietà delle potenze per esprimere il binomio

a^4+b^4=

nella somma di due quadrati

=(a^2)^2+(b^2)^2=

dopodiché aggiungiamo il doppio prodotto delle basi a^2\ \mbox{e} \ b^2 per completare il quadrato di a^2+b^2

=(a^2)^2+(b^2)^2+2a^2b^2-2a^2b^2=

Proprio perché i primi tre termini costituiscono il quadrato del binomio a^2+b^2, li rimpiazziamo con (a^2+b^2)^2, ottenendo:

=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=

A questo punto notiamo che per definizione di radice quadrata, 2 può essere espresso nel quadrato di \sqrt{2}, pertanto 2a^2b^2 può essere interpretato come il quadrato di \sqrt{2}ab.

=(a^2+b^2)^2-(\sqrt{2}ab)^2=

Una volta raggiunta questa espressione, dovremmo notare che è la differenza di due quadrati che si fattorizza nel prodotto della somma tra a^2+b^2\ \mbox{e}\ \sqrt{2}ab per la loro differenza, ossia:

=(a^2+b^2-\sqrt{2}ab)(a^2+b^2+\sqrt{2}ab)

Ed ecco la scomposizione richiesta. Si noti che i coefficienti dei polinomi sono numeri reali come richiesto dalla traccia. Se la traccia avesse avanzato pretese più restrittive, richiedendo ad esempio che i polinomi fossero a coefficienti razionali, il polinomio iniziale sarebbe stato irriducibile.
Ringraziano: Omega, LittleMar, Ifrit
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Os