Polinomio da scomporre con più prodotti notevoli

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Polinomio da scomporre con più prodotti notevoli #12753

avt
Matchpoint
Frattale
Mi servirebbe una mano per fattorizzare un polinomio a esponenti letterali, usando le tecniche di scomposizione opportune. L'esercizio si trova sotto il paragrafo relativo alla differenza di cubi, perciò sono sicuro di dover usare questa regola.

Usare le opportune tecniche di scomposizione per fattorizzare il seguente polinomio al variare del parametro naturale n.

a^7-8a^4-a^{6+n}+8a^{3+n}

Grazie mille.
 
 

Polinomio da scomporre con più prodotti notevoli #12774

avt
Omega
Amministratore
Per poter scomporre il polinomio

a^7-8a^4-a^{6+n}+8a^{3+n}

al variare del numero naturale n, dobbiamo necessariamente ricorrere a diverse tecniche di fattorizzazione, ma prima bisogna applicare le proprietà delle potenze per semplificare l'espressione. Più precisamente, interviene la regola sul prodotto di due potenze con la stessa base che, letta al contrario, garantisce le seguenti uguaglianze:

a^{6+n}=a^{6}\cdot a^{n} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ a^{3+n}=a^{3}\cdot a^{n}

per cui:

a^7-8a^4-a^{6+n}+8a^{3+n}=a^{7}-8a^{4}-a^{6}\cdot a^{n}+8a^{3}\cdot a^{n}=

Se osserviamo bene, i termini del quadrinomio ottenuto condividono il fattore comune a^{3}, e operando il suo raccoglimento totale, ci riconduciamo al polinomio:

=a^{3}\left(a^{4}-8a-a^{3}\cdot a^{n}+8a^{n}\right)=

L'espressione interna alle parentesi tonde può essere fattorizzata con la tecnica del raccoglimento parziale: raccogliamo a tra i primi due termini e -a^{n} dagli ultimi due:

=a^{3}\left[a\left(a^{3}-8\right)-a^{n}\left(a^{3}-8\right)\right]=

A questo punto, mettiamo in evidenza il fattore comune a^3-8, così da ricavare l'espressione:

=a^{3}\left[\left(a^3-8\right)\left(a-a^{n}\right)\right]

Prendiamoci un momento per esaminare i fattori e chiediamoci se sia possibile fattorizzarli ulteriormente: l'unico fattore che può essere ulteriormente scomposto è proprio a^3-8, il quale non è altro che la differenza dei cubi di a\ \mbox{e} \ 2. Il prodotto notevole

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

detto appunto differenza di cubi, consente di fattorizzare a^3-8 come segue:

a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)

in cui il trinomio a^2+2a+4 è un falso quadrato (in quanto tale irriducibile).

Tenuto conto delle precedenti uguaglianze, l'espressione

a^{3}\left[\left(a^3-8\right)\left(a-a^{n}\right)\right]=

diventa

=a^3(a-2)(a^2+2a+4)\left(a-a^{n}\right)

che rappresenta la scomposizione del polinomio iniziale al variare di n nell'insieme dei numeri naturali.

Riassumendo in una sola riga:

a^7-8a^4-a^{6+n}+8a^{3+n}=a^3(a-2)(a^2+2a+4)\left(a-a^{n}\right)

Ecco fatto!
Ringraziano: Pi Greco, Matchpoint
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Os