Esercizio sulle equazioni goniometriche elementari

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Esercizio sulle equazioni goniometriche elementari #12404

avt
Senialf
Banned
Ho da poco iniziato lo studio delle equazioni goniometriche e sebbene abbia studiato la teoria, non riesco a risolvere gli esercizi. Potreste spiegarmi come risolvere il seguente?


Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari

\\ (a) \ \ \  \cos(x)= 1 \\ \\ (b)\ \ \ \sin(x)=1 \\ \\  (c) \ \ \ \sin(x)=-1

Grazie mille a chiunque mi darà una mano.
 
 

Esercizio sulle equazioni goniometriche elementari #12406

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere le equazioni proposte bisogna fare riferimento ai valori assunti dalle funzioni trigonometriche \sin{(x)},\cos{(x)} in corrispondenza degli angoli notevoli della circonferenza goniometrica.

Per intenderci, quelli espressi nella tabella dei valori delle funzioni trigonometriche. La spiegazione teorica dettagliata e le definizioni di seno e coseno, invece, le trovi in quest'altra lezione.

Nel nostro caso basta determinare i valori x compresi tra 0 e 2\pi e poi estenderli per periodicità a tutti gli intervalli del tipo

...,\ [2\pi,4\pi),\ [4\pi,6\pi),\ ...

cioè a tutti gli intervalli della forma

[2k\pi,2(k+1)\pi) al variare di k\in\mathbb{Z}

]Esercizio (a)

Consideriamo l'equazione goniometrica elementare in coseno

\cos(x)=1

e osserviamo che l'unico valore di x (angolo) compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi (2\pi escluso) tale per cui \cos{(x)}=1 è x=0;

Estendendo le soluzioni per periodicità, scopriamo che tutte e sole le soluzioni dell'equazione sono date da

x=2k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Esercizio (b)

Risolviamo l'equazione goniometrica elementare

\sin{(x)}=1

notando che l'unico valore di x compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi tale per cui \sin{(x)}=1 è x=\frac{\pi}{2}, per cui estendendo le soluzioni per periodicità troviamo che tutte e sole le soluzioni dell'equazione sono date da

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

al variare di k intero.

Esercizio (c)

Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare in seno

\sin{(x)}=-1

basta constatare che l'unico valore di x che la verifica e che è compreso tra 0\ \mbox{e} \ 2\pi è

x=\frac{3}{2}\pi.

Tutte e sole le soluzioni dell'equazione, ottenute per periodicità, sono date da

x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Baseboì, Danni, CarFaby

Esercizio sulle equazioni goniometriche elementari #12446

avt
Senialf
Banned
Grazie mille!
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Os