Divisione tra polinomio e monomio con frazioni

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Divisione tra polinomio e monomio con frazioni #1236

avt
wewe93
Punto
Ho bisogno di una mano per calcolare il quoziente della divisione di un polinomio per un monomio, entrambi a coefficienti fratti. Il mio problema risiede essenzialmente nell'operare con le frazioni: commetto errori di calcolo che mi impediscono di ottenere il risultato corretto.

Esprimere in forma normale il quoziente della seguente divisione

(a^(3)b-(1)/(3)a^(2)b^(2)+(1)/(9)ab^3):(-(1)/(3)ab)

Grazie.
 
 

Divisione tra polinomio e monomio con frazioni #1238

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio, è sempre cosa buona e giusta accertarsi che venga rispettata la condizione di divisibilità: dobbiamo accertarci che ogni termine del polinomio sia divisibile per il monomio dato.

Nella divisione

(a^(3)b-(1)/(3)a^(2)b^(2)+(1)/(9)ab^3):(-(1)/(3)ab)

i termini del polinomio sono

a^(3)b , -(1)/(3)a^(2)b^(2) e (1)/(9)ab^(3)

e sono chiaramente divisibili per -(1)/(3)ab: si noti infatti che le lettere del monomio compaiono anche nei tre termini, con esponenti più grandi o al più uguali.

Ciò garantisce che il risultato della divisione sarà necessariamente un polinomio. Per poterlo esplicitare, usiamo la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione, cosicché l'espressione

(a^(3)b-(1)/(3)a^(2)b^(2)+(1)/(9)ab^3):(-(1)/(3)ab) =

diventi

= (a^3b):(-(1)/(3)ab)+(-(1)/(3)a^(2)b^(2)):(-(1)/(3)ab)+((1)/(9)ab^3):(-(1)/(3)ab) =

A questo punto, risolviamo le divisioni tra i monomi: basta dividere tra loro i coefficienti numeri - usando la regola dei segni per stabilire il segno da attribuire ai termini - e le parti letterali - utilizzando la regola sul quoziente di due potenze per stabilire gli esponenti delle lettere.

 = [1:(-(1)/(3))]a^(3-1)b^(1-1)+[-(1)/(3):(-(1)/(3))]a^(2-1)b^(2-1)+[(1)/(9):(-(1)/(3))]a^(1-1)b^(3-1) = [1:(-(1)/(3))]a^(2)+[-(1)/(3):(-(1)/(3))]ab+[(1)/(9):(-(1)/(3))]b^(2) =

Per scrivere il risultato in forma normale, dobbiamo svolgere le varie divisioni tra frazioni, moltiplicando le prime per il reciproco delle seconde.

 = [1·(-3)]a^(2)+[-(1)/(3)·(-3)]ab+[(1)/(9)·(-3)]b^(2) = -3a^2+ab-(1)/(3)b^2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, wewe93, CarFaby
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Os