Divisione tra polinomio e monomio con frazioni

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Divisione tra polinomio e monomio con frazioni #1236

avt
wewe93
Punto
Ho bisogno di una mano per calcolare il quoziente della divisione di un polinomio per un monomio, entrambi a coefficienti fratti. Il mio problema risiede essenzialmente nell'operare con le frazioni: commetto errori di calcolo che mi impediscono di ottenere il risultato corretto.

Esprimere in forma normale il quoziente della seguente divisione

\left(a^{3}b-\frac{1}{3}a^{2}b^{2}+\frac{1}{9}ab^3\right):\left(-\frac{1}{3}ab\right)

Grazie.
 
 

Divisione tra polinomio e monomio con frazioni #1238

avt
Ifrit
Amministratore
Prima di calcolare il quoziente della divisione tra un polinomio e un monomio, è sempre cosa buona e giusta accertarsi che venga rispettata la condizione di divisibilità: dobbiamo accertarci che ogni termine del polinomio sia divisibile per il monomio dato.

Nella divisione

\left(a^{3}b-\frac{1}{3}a^{2}b^{2}+\frac{1}{9}ab^3\right):\left(-\frac{1}{3}ab\right)

i termini del polinomio sono

a^{3}b\ \ \ , \ \ \ -\frac{1}{3}a^{2}b^{2}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{1}{9}ab^{3}

e sono chiaramente divisibili per -\frac{1}{3}ab: si noti infatti che le lettere del monomio compaiono anche nei tre termini, con esponenti più grandi o al più uguali.

Ciò garantisce che il risultato della divisione sarà necessariamente un polinomio. Per poterlo esplicitare, usiamo la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione, cosicché l'espressione

\left(a^{3}b-\frac{1}{3}a^{2}b^{2}+\frac{1}{9}ab^3\right):\left(-\frac{1}{3}ab\right)=

diventi

=(a^3b):\left(-\frac{1}{3}ab\right)+\left(-\frac{1}{3}a^{2}b^{2}\right):\left(-\frac{1}{3}ab\right)+\left(\frac{1}{9}ab^3\right):\left(-\frac{1}{3}ab\right)=

A questo punto, risolviamo le divisioni tra i monomi: basta dividere tra loro i coefficienti numeri - usando la regola dei segni per stabilire il segno da attribuire ai termini - e le parti letterali - utilizzando la regola sul quoziente di due potenze per stabilire gli esponenti delle lettere.

\\ =\left[1:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^{3-1}b^{1-1}+\left[-\frac{1}{3}:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^{2-1}b^{2-1}+\left[\frac{1}{9}:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^{1-1}b^{3-1}= \\ \\ \\ =\left[1:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]a^{2}+\left[-\frac{1}{3}:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]ab+\left[\frac{1}{9}:\left(-\frac{1}{3}\right)\right]b^{2}=

Per scrivere il risultato in forma normale, dobbiamo svolgere le varie divisioni tra frazioni, moltiplicando le prime per il reciproco delle seconde.

\\ =\left[1\cdot\left(-3\right)\right]a^{2}+\left[-\frac{1}{3}\cdot\left(-3\right)\right]ab+\left[\frac{1}{9}\cdot\left(-3\right)\right]b^{2}= \\ \\ \\ = -3a^2+ab-\frac{1}{3}b^2

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, wewe93, CarFaby
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Os