Differenza di cubi con numeri decimali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Differenza di cubi con numeri decimali #12335

avt
Matchpoint
Frattale
Non riesco a scomporre un polinomio a coefficienti decimali con la regola relativa alla differenza di cubi. Il mio professore ha suggerito di trasformare i numeri con la virgola nelle rispettive frazioni generatrici, però non ricordo più come si fa. Potreste aiutarmi?

Scomporre la seguente differenza di cubi nel prodotto di fattori irriducibili.

15,625\cdot a^3-3,375\cdot b^3

Grazie mille.
 
 

Differenza di cubi con numeri decimali #12337

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito prevede di scomporre il polinomio

15,625\cdot a^3-3,375\cdot b^3

dobbiamo cioè esprimerlo come prodotto di due o più polinomi di grado inferiore a quello dato. Prima di procedere con le eventuali tecniche di scomposizione, è opportuno notare che i coefficienti del polinomio sono numeri decimali: in questa forma diventa difficile ricavare la scomposizione, ecco perché ricaveremo le loro frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice di un numero decimale limitato è quella frazione che ha:

- al numeratore, il numero privato della virgola;

- al denominatore, un uno seguito da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale.

Sia chiaro che, una volta impostata, la frazione va ridotta ai minimi termini.

In base alla regola, la frazione generatrice associata a 15,625 è \frac{125}{8}, infatti:

15,625=\frac{15625}{1000}=\frac{125}{8}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso numeratore e denominatore per 125.

La frazione generatrice del numero 3,375 è invece \frac{27}{8}, infatti:

3,375=\frac{3375}{1000}=\frac{27}{8}

dove nell'ultimo passaggio, abbiamo diviso numeratore e denominatore per 125.

Alla luce dei precedenti ragionamenti, siamo autorizzati a scrivere la seguente uguaglianza:

15,625\cdot a^3-3,375\cdot b^3=\frac{125}{8}\cdot a^3-\frac{27}{8}\cdot b^3

In buona sostanza, siamo passati da un polinomio a coefficienti decimali a un polinomio a coefficienti fratti, facilitando i passaggi successivi.

Al fine di scomporre il polinomio

\frac{125}{8}a^3-\frac{27}{8}b^3

possiamo tranquillamente fare affidamento sul prodotto notevole:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

che permette di fattorizzare la differenza di due cubi come il prodotto tra due fattori:

- il binomio A-B, formato dalla differenza delle basi dei due cubi;

- il trinomio A^2+AB+B^2, formato dalla somma tra il quadrato della base del primo cubo, il quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.

Evidentemente, l'uso del prodotto notevole richiede di sapere chi sono le basi dei due cubi: bisogna conoscere quale termine svolge il ruolo di A e quale il ruolo di B. Poco male! Basta usare le sempreverdi proprietà delle potenze per stabilire l'espressione delle basi.

La base del cubo \frac{125}{8}a^3 è \frac{5}{2}a, infatti:

\left(\frac{5}{2}a\right)^3=\frac{5^3}{2^3}a^3=\frac{125}{8}a^3

La base del cubo \frac{27}{8}b^3 è \frac{3}{2}b, come dimostrato dai seguenti passaggi:

\left(\frac{3}{2}b\right)^3=\frac{3^3}{2^3}b^3=\frac{27}{8}b^3

In altre parole, le basi richieste per usare la regola sulla differenza di cubi sono:

A=\frac{5}{2}a \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=\frac{3}{2}b

per cui la scomposizione richiesta si ottiene semplificando la seguente espressione:

\frac{125}{8}a^3-\frac{27}{8}b^3=\left(\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b\right)\left(\left(\frac{5}{2}a\right)^2+\frac{5}{2}a\cdot\frac{3}{2}b+\left(\frac{3}{2}b\right)^2\right)=

Svolgiamo le operazioni con i monomi, interne alla seconda coppia di parentesi tonde e mettiamo un punto all'esercizio.

=\left(\frac{5}{2}a-\frac{3}{2}b\right)\left(\frac{25}{4}a^2+\frac{15}{4}ab+\frac{9}{4}b^2\right)

Ecco fatto!
  • Pagina:
  • 1
Os