Esercizio sulla scomposizione di tre polinomi

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Esercizio sulla scomposizione di tre polinomi #12159

avt
anna vicaretti
Cerchio
Salve a tutti, non ho capito come fare la scomposizione di polinomi, i passaggi e le regole. Sono un po' testona. Inoltre non so se scritto così va bene. Io ci riprovo
Grazie

1) x^2-y^2+ax^2-2axy+ay^2

2) 5a^6+5a

3) a^2b-2a^2-4b+8.
 
 

Esercizio sulla scomposizione di tre polinomi #12162

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt prendi come riferimento la lezione sui prodotti notevoli.

Scomponiamo i polinomi uno ad uno, cominciando dal primo

x^2-y^2+ax^2-2axy+ay^2=

consideriamo la prima coppia di monomi e il rimanente trinomio: la prima coppia di monomi x^2-y^2 la scomponiamo secondo la regola del falso quadrato (differenza dei quadrati = somma per differenza)

x^2-y^2=(x+y)(x-y)

Nel rimanente trinomio ax^2-2axy+ay^2 raccogliamo un termine a:

ax^2-2axy+ay^2=a(x^2+2xy+y^2)

e notiamo che ci rimane lo sviluppo di un quadrato

=a(x+y)^2

Rimettiamo tutto insieme:

x^2-y^2+ax^2-2axy+ay^2=(x+y)(x-y)+a(x+y)^2=

e applichiamo il raccoglimento a fattor comune rispetto ad (x+y)

=(x+y)[(x-y)+a(x+y)]

il primo è andato emt passiamo al secondo

5a^6+5a=

raccogliamo 5a

=5a(a^5+1)=

Il binomio a^5+1 si può scomporre con la regola di Ruffini, prendendo a=-1 come radice del polinomio, o in alternativa si può applicare la regoletta dei polinomi della forma x^{n}+1 con n dispari: a tua scelta emt

=5a(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)=

volendo, nel polinomio a^4-a^3+a^2-a+1 possiamo raccogliere a^3 tra i primi due termini e a tra il secondo e il terzo, ma è abbastanza inutile...

Passiamo al terzo polinomio

a^2b-2a^2-4b+8=

qui applichiamo il metodo del raccoglimento a fattor comune parziale, e raccogliamo tutto quello che può essere raccolto tra i primi due monomi e tutto quello che può essere raccolto tra gli ultimi due monomi:

=a^2(b-2)-4(b-2)=

lo scopo dei precedenti raccoglimenti era quello di ottenere due binomi uguali, di modo che poi si potesse raccogliere ulteriormente, e ci siamo!
Raccogliamo b-2

=(b-2)(a^2-4)=

Per concludere in bellezza, possiamo scomporre a^4-4 con la regola del falso quadrato

=(b-2)(a+2)(a-2)

e abbiamo finito emt

Tutto quello che ti serve della teoria e della pratica puoi trovarlo nelle nostre lezioni sui polinomi e nelle nostre schede di esercizi
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, anna vicaretti
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Os