Equazione fratta di primo grado con x^2

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Equazione fratta di primo grado con x^2 #12095

avt
margot
Frattale
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni fratte di primo grado che in realtà non sembra esserlo affatto. L'equazione infatti presenta diversi polinomi di secondo grado che non sono capace di semplifcare. Potreste aiutarmi?

Risolvere la seguente equazione frazionaria di primo grado dopo aver effettuato le opportune semplificazioni

\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2+6x+5}{x^2+4x-5}=\frac{2x+10}{x-1}

Secondo il testo, l'equazione è impossibile. Grazie.
 
 

Equazione fratta di primo grado con x^2 #12101

avt
Omega
Amministratore
Sebbene non ne abbia l'aspetto

\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2+6x+5}{x^2+4x-5}=\frac{2x+10}{x-1}

è un'equazione fratta di primo grado: lo evinceremo una volta svolti tutti i calcoli.

Per prima cosa scomponiamo tutti i polinomi che possono essere scomposti.

x^2+2x+1=(x+1)^2

è un quadrato di binomio.

Fattorizziamo la differenza di quadrati:

x^2-1=(x+1)(x-1)

Occupiamoci ora dei due polinomi di secondo grado

x^2+6x+5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ x^2+4x-5

che scomponiamo mediante la regola relativa ai trinomi notevoli

\\ x^2+6x+5=(x+1)(x+5) \\ \\ x^2+4x-5=(x+5)(x-1)

Riscriviamo l'equazione di partenza rimpiazzando opportunamente le scomposizioni ottenute

\frac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x+1)(x+5)}{(x-1)(x+5)}=\frac{2x+10}{x-1}

Prima di semplificare dobbiamo obbligatoriamente imporre le condizioni di esistenza. Se riducessimo le frazioni, correremmo il rischio di perdere informazioni riguardo l'esistenza stessa dell'equazione.

Proprio perché l'equazione è fratta, richiediamo che tutti i denominatori contenenti l'incognita siano non nulli, dunque imposteremo le seguenti relazioni

(x-1)(x+1)\ne 0

Interviene la legge di annullamento del prodotto che garantisce la non nullità del primo membro se e solo se i fattori che lo compongono sono non nulli

\\ x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1 \\ \\ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne-1

Occupiamoci del secondo denominatore, avvalendoci ancora una volta della legge di annullamento

(x-1)(x+5)\ne 0\ \ \to \ \ x-1\ne 0 \ \wedge \ x+5\ne 0

da cui

x\ne 1 \ \wedge \ x\ne -5

Dedichiamoci al terzo denominatore che è quello più facile da analizzare

x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1

Sfruttiamo le informazioni ottenute per esplicitare l'insieme di esistenza

C.E.: \ x\ne -5 \ \wedge \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

Sotto tali vincoli, siamo autorizzati a semplificare le frazioni algebriche.

\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}=\frac{2x+10}{x-1}

Trasportiamo tutti i termini a sinistra

\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}-\frac{2x+10}{x-1}=0

ed esprimiamo le frazioni a denominatore comune

\frac{x+1-(x+1)-(2x+10)}{x-1}=0

Eliminiamo il denominatore

x+1-x-1-2x-10=0

e sommiamo tra loro i monomi simili, ricavando l'equazione di primo grado:

-2x-10=0

Risolviamola isolando l'incognita al primo membro

-2x=10 \ \ \to \ \ 2x=-10

Dividiamo i due membri per 2

x=-\frac{10}{2}

e riduciamo la frazione ai minimi termini

x=-5

Il valore ottenuto non è accettabile come soluzione perché viola le condizioni di esistenza (x\ne -5), ecco perché concludiamo che l'equazione è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto, vale a dire S=\emptyset.
Ringraziano: margot
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Os