Scomporre trinomio di binomi con regola del quadrato di binomio

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Scomporre trinomio di binomi con regola del quadrato di binomio #11897

avt
birbantone92
Cerchio
Dovrei svolgere un esercizio sulle scomposizioni mediante prodotti notevoli, in particolare la regola di scomposizione per il quadrato di un binomio. Ho risolto in agilità molti altri esercizi, ma questo mi ha spiazzato.

Senza svolgere i calcoli, scomporre il seguente polinomio con la regola relativa al quadrato di un binomio:

(x+1)^2+2(x+1)+1

Grazie.
 
 

Scomporre trinomio di binomi con regola del quadrato di binomio #11898

avt
Omega
Amministratore
Il testo del problema è alquanto peculiare perché ci impedisce di svolgere i passaggi algebrici per scomporre il polinomio

(x+1)^2+2(x+1)+1

Una possibile strategia risolutiva consiste nell'applicare la regola sullo sviluppo del quadrato di un binomio, letta al contrario

A^2+2AB+B^2 = (A+B)^2

Il polinomio in esame presenta tre addendi, ossia (x+1)^2, 2(x+1) e 1. Il primo è esattamente il quadrato di x+1, il terzo è il quadrato di 1, infine il secondo non è altro che il doppio prodotto tra la base del primo e quella del terzo:

2·(x+1)·1 = 2(x+1)

In definitiva, possiamo concludere che il polinomio (x+1)^2+2(x+1)+1 rappresenta lo sviluppo del quadrato della somma tra x+1 e 1, pertanto:

(x+1)^2+2(x+1)+1 = (x+1+1)^2 = (x+2)^2

Controlliamo la correttezza del risultato, svolgendo l'esercizio in maniera differente: sviluppiamo i calcoli e in seguito scomponiamo in fattori.

(x+1)^2+2(x+1)+1 = x^2+2x+1+2x+2+1 = x^2+4x+4 = (x+2)^2

Sottolineiamo che il trinomio x^2+4x+4 è lo sviluppo del quadrato di x+2 perché formato dai seguenti monomi: x^2 è il quadrato di x, 4 è il quadrato di 2 mentre 4x rappresenta il doppio prodotto tra x e 2.

Abbiamo terminato.
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