Equazione di primo grado con razionalizzazione

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Equazione di primo grado con razionalizzazione #11770

avt
xeltonx
Banned
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione di primo grado con i radicali al denominatore. Credo si debba razionalizzare ma non so come.

Risolvere la seguente equazione di primo grado a coefficienti radicali dopo aver razionalizzato i vari denominatori

\frac{x-1}{\sqrt{2}}=\frac{x-1}{2-\sqrt{2}}+\frac{x}{\sqrt{2}-1}
 
 

Equazione di primo grado con razionalizzazione #11809

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per risolvere l'equazione di primo grado

\frac{x-1}{\sqrt{2}}=\frac{x-1}{2-\sqrt{2}}+\frac{x}{\sqrt{2}-1}

innanzitutto razionalizziamo i denominatori. Partiamo dal primo moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}

\\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{x-1}{2-\sqrt{2}}+\frac{x}{\sqrt{2}-1} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{x-1}{2-\sqrt{2}}+\frac{x}{\sqrt{2}-1}

Per razionalizzare 2-\sqrt{2} moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 2+\sqrt{2}

\frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}+\frac{x}{\sqrt{2}-1}

Notiamo che (2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) è il prodotto di una somma per una differenza e grazie alla relativa regola possiamo scrivere l'equazione come segue:

\\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2^2-(\sqrt{2})^2}+\frac{x}{\sqrt{2}-1} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{4-2}+\frac{x}{\sqrt{2}-1} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2}+\frac{x}{\sqrt{2}-1}

Facciamo la stessa cosa razionalizzando \sqrt{2}-1 moltiplicando e dividendo per \sqrt{2}+1

\frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2}+\frac{x(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}

Eseguiamo i calcoli

\\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2}+\frac{x(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2-1} \\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2}+\frac{x(\sqrt{2}+1)}{2-1}\\ \\ \\ \frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})}{2}+x(\sqrt{2}+1)

Portiamo le frazioni a denominatore comune

\frac{\sqrt{2}(x-1)}{2}=\frac{(x-1)(2+\sqrt{2})+2x(\sqrt{2}+1)}{2}

e una volta cancellato possiamo sviluppare i calcoli al numeratore

\\ \sqrt{2}(x-1)=(x-1)(2+\sqrt{2})+2x(\sqrt{2}+1) \\ \\ \sqrt{2}x-\sqrt{2}=2x+\sqrt{2}x-2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}x+2x

Il più è fatto, non ci resta che trasportare tutti i termini con l'incognita al primo membro e quelli senza al secondo cambiando opportunamente i segni

\sqrt{2}x-2x-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}x-2x=\sqrt{2}-2-\sqrt{2}

Sommiamo tra loro i termini simili

(-4-2\sqrt{2})x=-2

e dividiamo a destra e a sinistra per -4-2\sqrt{2} ricavando così la soluzione

x=\frac{-2}{-4-2\sqrt{2}}

Attenzione, la soluzione non è scritta nella sua forma più semplice possibile: dobbiamo impegnarci per semplificare il risultato. Mettiamo in evidenza il fattore comune -2 al denominatore

x=\frac{-2}{-2(2+\sqrt{2})}

riduciamo la frazione ai minimi termini

x=\frac{1}{2+\sqrt{2}}

e infine razionalizziamo il denominatore moltiplicando e dividendo per 2-\sqrt{2}

\\ x=\frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} \ \ \to \ \ x=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2} \ \ \to \\ \\ \\ \to \ \  x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, xeltonx
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Os