Come risolvere una disequazione fratta con parametro

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Come risolvere una disequazione fratta con parametro #11422

avt
Nello
Cerchio
Ciao tutti, per prima cosa buona domenica! Avrei bisogno di un aiuto con questa disequazione fratta con un parametro

\frac{2x-a}{x-3a}\geq 0

Il libro mi dà come risultati:

- per a>0 risulta x\leq \frac{a}{2}\ \vee\ x>3a

- per a=0 qualunque x\neq 0;

- per a<0 si ha x<3a\ \vee\ x\geq \frac{a}{2}

Quello che non riesco a capire sono proprio i risultati, che non mi tornano. Grazie!
 
 

Come risolvere una disequazione fratta con parametro #11440

avt
Omega
Amministratore
Ciao Nello! emt

Vediamo come risolvere: abbiamo una disequazione fratta con un parametro

\frac{2x-a}{x-3a}\geq 0

contiene un parametro, ma è pur sempre una disequazione fratta, dunque bisogna conoscere a menadito il metodo per risolverle a prescindere dal parametro (vedi la lezione del link, nel caso).

Tenendo conto che a\in\mathbb{R}, studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore

Numeratore

2x-a\geq 0

troviamo

x\geq \frac{a}{2}

Denominatore

x-3a>0

per cui

x>3a

Il punto è: nello studiare il segno della frazione algebrica, e quindi nel disegnare il grafico dei segni, tra \frac{a}{2} e 3a chi va messo prima e chi va messo dopo? emt

Tutto dipende dal valore di a, o meglio dagli intervalli in cui si trova a dato che non assume un valore specifico.

Per prima cosa, osserviamo che se a=0 abbiamo come soluzioni per numeratore e denominatore, in entrambi i casi

x\geq />0

quindi la frazione è positiva per ogni x\neq 0.

Consideriamo a<0: in tal caso abbiamo 3a<\frac{a}{2}, per cui guardando il grafico dei segno abbiamo che la frazione è positiva per

x< 3a\vee x\geq \frac{a}{2}

Se invece a>0, risulta che \frac{a}{2}<3a e quindi guardando il grafico dei segni troviamo come soluzioni della disequazione

x\leq \frac{a}{2}\vee x> 3a.
Ringraziano: Pi Greco
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Os