Differenza di cubi con frazioni

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Differenza di cubi con frazioni #11314

avt
WhiteC
Frattale
Dovrei scomporre un polinomio a coefficienti fratti con la regola sulla differenza di cubi. Non ho avuto difficoltà con gli altri esercizi, però non so come gestire correttamente i termini fratti. Potreste aiutarmi?

Scomporre il seguente polinomio in fattori irriducibili:

\frac{a^3}{125}-\frac{8 b^3}{27}

Grazie mille.
 
 

Differenza di cubi con frazioni #11754

avt
nando
Frattale
L'esercizio ci chiede di scomporre in fattori irriducibili il polinomio

\frac{a^3}{125}-\frac{8 b^3}{27}

Esso è un binomio alquanto particolare, giacché è differenza di due cubi

\frac{a^3}{125}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{8b^3}{27}

Alla luce di queste osservazioni preliminari, comprendiamo che la tecnica di scomposizione migliore per questa circostanza consiste nell'applicare il prodotto notevole:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

che consente di esprimere la differenza di cubi mediante il prodotto di due polinomi:

- il binomio A-B, formato dalla differenza delle due basi dei cubi;

- il trinomio A^2+AB+B^2, formato dal quadrato della base del primo cubi, dal quadrato della base del secondo e dal prodotto delle due basi.

Per poter innescare la regola, abbiamo la necessità di ricavare le basi dai due cubi, ossia dobbiamo comprendere chi svolge il ruolo di A e chi il ruolo di B nel prodotto notevole. Presto fatto: è sufficiente usare le proprietà delle potenze per verificare che:

- il termine \frac{a^3}{125} è il cubo di \frac{a}{5}, infatti:

\left(\frac{a}{5}\right)^{3}=\frac{a^3}{5^3}=\frac{a^3}{125}

- il termine \frac{8b^3}{27} è il cubo di \frac{2b}{3}, infatti:

\left(\frac{2b}{3}\right)^3=\frac{2^3b^3}{3^3}=\frac{8b^3}{27}

In definitiva A=\frac{a}{5}\ \mbox{e} \ B=\frac{2b}{3}, di conseguenza il prodotto notevole consente di scrivere la seguente relazione:

\\ \frac{a^3}{125}-\frac{8b^3}{27}=\left(\frac{a}{5}-\frac{2b}{3}\right)\left(\left(\frac{a}{5}\right)^2+\frac{a}{5}\cdot\frac{2b}{3}+\left(\frac{2b}{3}\right)^2\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{a}{5}-\frac{2b}{3}\right)\left(\frac{a^2}{25}+\frac{2ab}{15}+\frac{4b^2}{9}\right)

Poiché il trinomio

\frac{a^2}{25}+\frac{2ab}{15}+\frac{4b^2}{9}

è un falso quadrato, esso non è scomponibile, per cui la scomposizione in fattori irriducibili associata al polinomio dato è:

\frac{a^3}{125}-\frac{8 b^3}{27}=\left(\frac{a}{5}-\frac{2b}{3}\right)\left(\frac{a^2}{25}+\frac{2ab}{15}+\frac{4b^2}{9}\right)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, Ifrit, WhiteC, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os