Esercizio su equazione trigonometrica con sin(2x)

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Esercizio su equazione trigonometrica con sin(2x) #1125

avt
xavier310
Sfera
Mi è capitata un'equazione goniometrica con il seno che non sono in grado di risolvere, per via della forma in cui essa stessa si presenta. Ho l'impressione che si debba esprimere in forma normale e poi usare una sostituzione, però non so come si fa. Potreste aiutarmi?

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, dopo averla espressa in forma normale:

-\sin(2x)+3\sin(2x)=\sqrt{2}

Grazie.
 
 

Esercizio su equazione trigonometrica con sin(2x) #1128

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica

-\sin(2x)+3\sin(2x)=\sqrt{2}

e il primo passaggio prevede di esprimerla in forma normale: è sufficiente sommare algebricamente i coefficienti dei seni, vale a dire

(-1+3)\sin(2x)=\sqrt{2}\ \ \ \to \ \ \ 2\sin(2x)=\sqrt{2}

e dividere per due a destra e a sinistra dell'uguale

\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

A questo punto usiamo la sostituzione t=2x, mediante la quale ci riconduciamo all'equazione goniometrica elementare

\sin(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli del seno, scopriamo che le soluzioni base, riferite all'intervallo 0\le t<2\pi, sono \frac{\pi}{4}\ \mbox{e} \ \frac{3\pi}{4}; le altre si ottengono usando la periodicità del seno.

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

A questo punto, ritorniamo nell'incognita x, tenendo conto della sostituzione fatta. Poiché t=2x, le relazioni

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

si tramutano nelle seguenti equazioni di primo grado

2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ 2x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

Dividendo per due i membri delle equazioni, ricaviamo le seguenti famiglie soluzione:

x=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)\ \ \ , \ \ \ x=\frac{1}{2}\left(\frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)

da cui, svolgendo i calcoli:

x=\frac{\pi}{8}+k\pi \ \ \ , \ \ \ x=\frac{3\pi}{8}+k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}. È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, xavier310
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Os