Espressioni polinomiali da semplificare

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Espressioni polinomiali da semplificare #11209

avt
trilligiorgi
Cerchio
Devo semplificare due espressioni con i polinomi, avvalendomi dei vari prodotti notevoli. Sebbene io abbia svolto i calcoli con la massima attenzione, i risultati che ottengo sono sbagliati.

Svolgere le seguenti espressioni polinomiali usando opportunamente i prodotti notevoli:

\\ \bullet \ \ \ (a+x)^3-(a-x)^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)\\ \\ \bullet \ \ \ (a+3)^3-2(a^2-1)(a+1)-3(a+3)^2

Grazie.
 
 

Espressioni polinomiali da semplificare #11213

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio chiede di svolgere due espressioni con i polinomi usando come si devono i prodotti notevoli.

Per poter semplificare l'espressione letterale

(a+x)^3-(a-x)^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)

sviluppiamo i cubi dei binomi (a+x)\ \mbox{e} \ (a-x) secondo la regola

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

Il primo cubo è facile da sviluppare perché non si manifestano complicazioni dovute al segno:

(a+x)^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3

Il secondo cubo invece richiede un'attenzione maggiore per via del segno negativo che precede la x

(a-x)^3=a^3+3a^2(-x)+3a(-x)^2+(-x)^3=

Portiamo a termine i conti, avvalendoci della regola dei segni per attribuire il segno corretto

=a^3-3a^2x+3ax^2-x^3

Sostituiamo gli sviluppi all'interno dell'espressione

(a+x)^3-(a-x)^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)=

che diventa

=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3-(a^3-3a^2x+3ax^2-x^3)+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)=

Possiamo eliminare la prima coppia di parentesi tonde, a patti di cambiare i segni ai termini al loro interno

=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3-a^3+3a^2x-3ax^2+x^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)=

Prima di procedere con gli altri prodotti, sommiamo i termini simili

\\ =(1-1)a^3+(3+3)a^2x+(3-3)ax^2+(1+1)x^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)= \\ \\ = 6a^2x+2x^3+x(a-x)(x+a)-x(7a^2+x^2)=

Sviluppiamo il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi a\ \mbox{e} \ b

= 6a^2x+2x^3+x(a^2-x^2)-x(7a^2+x^2)=

e infine svolgiamo i prodotti tra i monomi per i polinomi che seguono. Non è difficile: basta moltiplicare ciascun termine del polinomio per il monomio a fianco.

=6a^2x+2x^3+a^2x-x^3-7a^2x-x^3=

A questo punto non ci resta che sommare tra loro i monomi simili e scrivere il risultato.

=(6+1-7)a^2x+(2-1-1)x^3=0

Abbiamo terminato.


Per semplificare

(a+3)^3-2(a^2-1)(a+1)-3(a+3)^3=

prima di tutto sviluppiamo il cubo del primo binomio

=a^3+9a^2+27a+27-2(a^2-1)(a+1)-3(a+3)^2=

dopodiché calcoliamo il prodotto successivo, moltiplicando termine a termine gli elementi

=a^3+9a^2+27a+27-2(a^3+a^2-a-1)-3(a+3)^2=

Eleviamo al quadrato l'ultimo binomio

=a^3+9a^2+27a+27-2(a^3+a^2-a-1)-3(a^2+6a+9)=

e svolgiamo i restanti prodotti.

=a^3+9a^2+27a+27-2a^3-2a^2+2a+2-3a^2-18a-27=

Non ci resta che eseguire le operazioni tra i monomi ottenuti e scrivere il risultato

=-a^3+4a^2+11a+2

Ecco fatto!
Ringraziano: Ifrit

Re: Espressioni polinomiali da semplificare #12199

avt
trilligiorgi
Cerchio
Grazie mille Omega!
Ringraziano: Omega
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Os