Polinomio con numeri periodici e scomposizione con cubo di binomio

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Polinomio con numeri periodici e scomposizione con cubo di binomio #11193

avt
Matilde91
Cerchio
Dovrei scomporre un polinomio a coefficienti decimali periodici nel prodotto di fattori irriducibili, usando la regola sullo sviluppo di un cubo di binomio. Il mio insegnante mi ha suggerito di calcolare le frazioni generatrici e di lavorare con queste: c'è solo un problema, non ricordo come si calcolano.

Trasformare il seguente polinomio nel cubo di un binomio:

0,\overline{037}x^3+0,\overline{4}x^2 y+1,\bar{7}xy^2+2,\overline{370}y^3

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Lucabig
 
 

Polinomio con numeri periodici e scomposizione con cubo di binomio #11229

avt
Omega
Amministratore
Per poter esprimere il polinomio

0,\overline{037}x^3+0,\overline{4}x^2 y+1,\overline{7}xy^2+2,\overline{370}y^3

nel cubo di un binomio bisogna innanzitutto determinare le frazioni generatrici associate a ciascun numero periodico.

La frazione generatrice di un numero periodico semplice è quella frazione che ha:

- per numeratore la differenza tra l'intero numero senza la virgola e la parte intera;

- per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo.

Seguendo la semplice regola, scopriamo che:

- la frazione generatrice associata al numero periodico 0,\overline{037} è \frac{1}{27}, infatti:

0,\overline{037}=\frac{37-0}{999}=\frac{37}{999}=\frac{1}{27}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto ai minimi termini la frazione (per approfondire: come ridurre una frazione ai minimi termini), dividendo numeratore e denominatore per 37;

- la frazione associata al numero 0,\bar{4} è \frac{4}{9}, infatti:

0,\bar{4}=\frac{4-0}{9}=\frac{4}{9}

- la frazione associata al numero 1,\bar{7} è \frac{16}{9}, infatti:

1,\bar{7}=\frac{17-1}{9}=\frac{16}{9}

- la frazione associata al numero 2,\overline{370} è \frac{64}{27}, infatti:

2,\overline{370}=\frac{2370-2}{999}=\frac{2368}{999}=\frac{64}{27}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto ai minimi termini la frazione, dividendo numeratore e denominatore per 37.

Con le informazioni in nostro possesso, siamo in grado di esprimere il polinomio nella forma equivalente

\frac{1}{27}x^3+\frac{4}{9}x^2 y+\frac{16}{9}xy^2+\frac{64}{27}y^3

Il nostro obiettivo consiste nell'esprimere il quadrinomio come cubo di un binomio da determinare, usando il prodotto notevole:

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3

Per poter applicare questa tecnica di scomposizione, bisogna assicurarsi che nel polinomio compaiano:

- due cubi perfetti, da cui estrapoliamo le basi che formeranno il binomio;

- il triplo prodotto tra il quadrato della base del primo cubo per la base del secondo e il triplo prodotto tra il quadrato della base del secondo cubo per la base del primo.

Se le condizioni sono entrambe soddisfatte, il quadrinomio coincide con il cubo della somma delle basi ottenute.

Analizziamo il polinomio

\frac{1}{27}x^3+\frac{4}{9}x^2 y+\frac{16}{9}xy^2+\frac{64}{27}y^3

individuiamo i cubi e determiniamone le rispettive basi. In questa occasione, i termini cubici sono:

\frac{1}{27}x^3 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \frac{64}{27}y^3

La base di \frac{1}{27}x^3 è \frac{1}{3}x, infatti per le proprietà delle potenze:

\frac{1}{27}x^3=\frac{1}{3^3}x^3=\left(\frac{1}{3}x\right)^3

La base di \frac{64}{27}y^3 è invece \frac{4}{3}y, infatti:

\frac{64}{27}y^3=\frac{4^3}{3^3}y^3=\left(\frac{4}{3}y\right)^3

Una volta individuate le basi, bisogna controllare che i rimanenti termini del quadrinomio siano effettivamente uguali ai tripli prodotti: calcoliamoli!

Il triplo prodotto tra il quadrato della prima base per la seconda è:

3\cdot\left(\frac{1}{3}x\right)^2\cdot\frac{4}{3}y=3\cdot\frac{1}{9}x^2\cdot\frac{4}{3}y=\frac{4x^2y}{9}

Il triplo prodotto tra la prima base e il quadrato della seconda è invece:

3\cdot\left(\frac{1}{3}x\right)\cdot\left(\frac{4}{3}y\right)^2=3\cdot\frac{1}{3}x\cdot\frac{16}{9}y^2=\frac{16x y^2}{9}

Con le informazioni ottenute, possiamo affermare che il polinomio iniziale è il cubo di \frac{1}{3}x+\frac{4}{3}y, vale a dire:

\frac{1}{27}x^3+\frac{4}{9}x^2 y+\frac{16}{9}xy^2+\frac{64}{27}y^3=\left(\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}y\right)^3

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Lucabig
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