Scomposizione di un polinomio con prodotti per raccoglimento

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Scomposizione di un polinomio con prodotti per raccoglimento #11080

avt
piaclara10
Cerchio
Ho bisogno del vostro aiuto per scomporre un polinomio con la tecnica del raccoglimento totale. Ad essere sinceri, non ho alcun problema nel momento in cui io debba mettere in evidenza le lettere comuni ai termini, mentre riscontro molte difficoltà nel caso in cui compaiono potenze di binomi.

Fattorizzare il seguente polinomio, usando l'opportuna tecnica di scomposizione.

x^2y(x+y)^2+2xy^2(x+y)

Grazie.
 
 

Scomposizione di un polinomio con prodotti per raccoglimento #11082

avt
Omega
Amministratore
Prima di dedicarci alla risoluzione dell'esercizio, esaminiamo gli addendi del polinomio

x^2y(x+y)^2+2xy^2(x+y)

vale a dire x^2y(x+y)^2\ \mbox{e} \ 2xy^2(x+y), e osserviamo che vi sono alcuni fattori comuni. Ciò ci suggerisce che la tecnica di scomposizione utile a portare a termine l'esercizio è il metodo del raccoglimento totale.

In questa circostanza, il fattore comune è dato dal prodotto delle lettere comuni agli addendi, ciascuna presa con il più piccolo esponente, e del binomio x+y, anch'esso elevato all'esponente più piccolo, cioè xy(x+y).

Riallacciandoci alla teoria, il polinomio iniziale si esprime come prodotto tra il fattore comune e il polinomio formato dai quozienti delle divisioni tra gli addendi e il fattore comune.

Dal punto di vista operativo, ci avvarremo delle proprietà delle potenze, e in particolare della regola sul quoziente di due potenze con la stessa base nel momento in cui esplicitiamo la divisione tra gli addendi e il fattore ottenuto.

\\ x^2y(x+y)^2+2xy^2(x+y)=\\ \\ =xy(x+y)\left[x^{2-1}y^{1-1}(x+y)^{2-1}+2x^{1-1}y^{2-1}(x+y)^{1-1}\right]=\\ \\ =xy(x+y)[xy^{0}(x+y)+2y(x+y)^{0}]=

Le potenze con esponente nullo sono per convenzione uguali a uno, per cui l'espressione diventa:

=xy(x+y)[x(x+y)+2y]=

Non ci resta altro da fare se non moltiplicare x per il binomio x+y e mettere un punto all'esercizio.

=xy(x+y)[x^2+x y+2y]

Ecco fatto!
Ringraziano: Ifrit
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Os