Scomposizione di una differenza di cubi con esponenti letterali

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Scomposizione di una differenza di cubi con esponenti letterali #1079

avt
revolution93
Cerchio
Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sulla scomposizione di polinomi usando la regola sulla differenza di cubi. Non ho avuto grosse difficoltà negli esercizi precedenti, pero in questo caso il polinomio è a esponenti letterali e sinceramente non so come gestirli.

Scomporre il seguente polinomio utilizzando la regola sulla differenza di cubi.

8a^{3m}-27b^{3n} \ \ \ \mbox{con} \ n, \ m\in\mathbb{N}-\{0\}

Grazie.
 
 

Scomposizione di una differenza di cubi con esponenti letterali #1085

avt
Omega
Amministratore
La traccia dell'esercizio fornisce la strategia risolutiva per scomporre il polinomio

8a^{3m}-27b^{3n}

infatti suggerisce di utilizzare la regola sulla differenza di cubi:

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

Questo prodotto notevole consente di esprimere la differenza di due cubi come il prodotto tra due polinomi: il binomio formato dalla differenza delle basi dei cubi e il trinomio formato dal quadrato della prima base, da quello della seconda e dal prodotto delle due basi.

Per poterlo usare, abbiamo la necessità di conoscere le basi dei due cubi: dobbiamo sapere cioè quale termine svolge il ruolo di A e quale quello di B. Nel binomio:

8a^{3m}-27b^{3n}

i cubi sono chiaramente 8a^{3m}\ \mbox{e} \ 27b^{3n}, però abbiamo bisogno delle loro basi! Poco male, bisogna solamente ragionare un momento e sfruttare le proprietà delle potenze.

La base di 8a^{3m} è 2a^{m}, infatti:

(2a^m)^{3}=2^3\cdot (a^m)^3=8a^{3m}

mentre la base di 27b^{3n} è 3b^{n}, infatti:

(3b^{n})^{3}=3^{3}\cdot (b^{n})^3=27b^{3n}

Deduciamo, pertanto, che le basi dei due cubi sono

A=2a^{m} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=3b^{n}

e se operiamo la sostituzione all'interno della regola sulla differenza di cubi, ricaviamo:

8a^{3m}-27b^{3n}=(2a^{m}-3b^{n})\left((2a^{m})^2+2a^{m}\cdot 3b^{n}+(3b^{n})^2\right)=

Da qui in poi, è una mera questione di calcoli: sviluppiamo le potenze dei monomi e calcoliamo il prodotto!

=(2a^{m}-3b^{n})\left(4a^{2m}+6a^{m}b^{n}+9b^{2n}\right)

Ecco fatto.
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Os