Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza

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Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza #10509

avt
trilligiorgi
Cerchio
Ciao, non riesco a risolvere un'equazione fratta, non riesco né a trovare le soluzioni né a scrivere le condizioni di esistenza. Sto diventando matta, mi aiutate?

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

\frac{x + 6}{-\frac{3}{x + 3}} + 2 = 0

PS: sono in seconda superiore, grazie mille!
 
 

Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza #10520

avt
frank094
Maestro
Anche se all'apparenza non sembra

\frac{x+6}{-\frac{3}{x+3}}+2=0

è a tutti gli effetti un'equazione fratta di secondo grado

Per risolverla, dobbiamo innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli:

C.E. : \ x+3\ne 0 \ \wedge \ -\frac{3}{x+3}\ne 0

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

La prima condizione è di facile risoluzione, infatti basta isolare l'incognita al membro di sinistra

x+3\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -3

Per quanto concerne la relazione

-\frac{3}{x+3}\ne 0

è sufficiente osservare che è sempre soddisfatta a patto che il denominatore sia non nullo, dunque scriviamo:

-\frac{3}{x+3}\ne 0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\ne -3

In definitiva, il cosiddetto C.E. associato all'equazione è

C.E. : \ x\ne -3

Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere la frazioni di frazioni in forma canonica, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

(x+6)\left(-\frac{x+3}{3}\right)+2=0

Eseguiamo il prodotto sfruttando a dovere la regola dei segni

-\frac{1}{3}(x+6)(x+3)+2=0

da cui

-\frac{x^2+3x+6x+18}{3}+2=0

Esprimiamo il primo membro a denominatore comune

\\ \frac{-x^2-9x-18+6}{3}=0 \\ \\ \\ \frac{-x^2-9x-12}{3}=0

Moltiplichiamo a destra e sinistra per 3

-x^2-9x^2-12=0

e cambiamo i segni ai due membri, riconducendoci così all'equazione di secondo grado

x^2+9x^2+12=0

Indicati con a,\ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1\ \ \ ; \ \ \ b=9 \ \ \ ; \ \ \ c=12

possiamo calcolare il discriminante con la formula

\Delta =b^2-4ac= 9^2-4\cdot 1 \cdot 12=33

Dalla positività del delta deduciamo che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si calcolano con la relazione

\\ x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-9 \pm \sqrt{33}}{2} =\begin{cases}\frac{-9-\sqrt{33}}{2}=x_1 \\ \\ \frac{-9+\sqrt{33}}{2}=x_2\end{cases}

I due valori soddisfano a pieno entrambe le condizioni di esistenza dell'equazione fratta, di conseguenza sono soluzioni accettabili.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione fratta è determinata e il suo insieme soluzione è

S=\left\{\frac{-9-\sqrt{33}}{2},\ \frac{-9+\sqrt{33}}{2}\right\}

È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, trilligiorgi
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Os