Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza

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Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza #10509

avt
trilligiorgi
Cerchio
Ciao, non riesco a risolvere un'equazione fratta, non riesco né a trovare le soluzioni né a scrivere le condizioni di esistenza. Sto diventando matta, mi aiutate?

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado

(x+6)/(-(3)/(x+3))+2 = 0

PS: sono in seconda superiore, grazie mille!
 
 

Equazione fratta: soluzioni e campo di esistenza #10520

avt
frank094
Sfera
Anche se all'apparenza non sembra

(x+6)/(-(3)/(x+3))+2 = 0

è a tutti gli effetti un'equazione fratta di secondo grado

Per risolverla, dobbiamo innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori che contengono l'incognita siano non nulli:

C.E. : x+3 ne 0 ∧ -(3)/(x+3) ne 0

dove ∧ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

La prima condizione è di facile risoluzione, infatti basta isolare l'incognita al membro di sinistra

x+3 ne 0 → x ne-3

Per quanto concerne la relazione

-(3)/(x+3) ne 0

è sufficiente osservare che è sempre soddisfatta a patto che il denominatore sia non nullo, dunque scriviamo:

-(3)/(x+3) ne 0 per ogni x ne-3

In definitiva, il cosiddetto C.E. associato all'equazione è

C.E. : x ne-3

Il prossimo passaggio consiste nell'esprimere la frazioni di frazioni in forma canonica, moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

(x+6)(-(x+3)/(3))+2 = 0

Eseguiamo il prodotto sfruttando a dovere la regola dei segni

-(1)/(3)(x+6)(x+3)+2 = 0

da cui

-(x^2+3x+6x+18)/(3)+2 = 0

Esprimiamo il primo membro a denominatore comune

(-x^2-9x-18+6)/(3) = 0 ; (-x^2-9x-12)/(3) = 0

Moltiplichiamo a destra e sinistra per 3

-x^2-9x^2-12 = 0

e cambiamo i segni ai due membri, riconducendoci così all'equazione di secondo grado

x^2+9x^2+12 = 0

Indicati con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a = 1 ; b = 9 ; c = 12

possiamo calcolare il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = 9^2-4·1·12 = 33

Dalla positività del delta deduciamo che l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si calcolano con la relazione

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-9±√(33))/(2) = (-9-√(33))/(2) = x_1 ; (-9+√(33))/(2) = x_2

I due valori soddisfano a pieno entrambe le condizioni di esistenza dell'equazione fratta, di conseguenza sono soluzioni accettabili.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione fratta è determinata e il suo insieme soluzione è

S = (-9-√(33))/(2), (-9+√(33))/(2)

È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, trilligiorgi
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Os