Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio

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Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio #10412

avt
m.rita
Punto
Salve, sto studiando i sistemi parametrici misti ma, pur riuscendo a risolverli e a discutere le eventuali soluzioni, non riesco a trovare una definizione esatta e le informazioni di base che lo riguardano e che il mio prof richiederà all'interrogazione. (Ad esempio è costituito da..., piano euclideo/cartesiano.... ecc).

Mi potete dare una mano please? emt Grazie!
 
 

Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio #10467

avt
cichia
Cerchio
Ciao m.rita emt La domanda è molto generale cosi provo a dirti le cose principali
Un sistema parametrico misto è un sistema generalmente composto da un'equazione senza parametri che rappresenta una conica, più spesso una parabola o una circonferenza. Poi si ha un'equazione parametrica che, sempre generalmente ma dipende dai casi, rappresenta un fascio di rette e da alcune limitazioni della variabile x, date da disequazioni.

Questo sistema misto va studiato graficamente sul piano cartesiano.

Si disegna prima di tutto la conica, nel caso sia un parabola si trovano vertice ed intersezione con gli assi e se è una circonferenza centro e raggio. Ma in fondo a te non interessa il procedimento.

Cerca di spiegare bene al prof che tipo di conica trovi, poi cerca di spiegargli che tipo di fascio di rette, se proprio o improprio, cioè se il parametro compare al coefficiente angolare o meno.

Spiegagli come si studiano le condizioni di tangenza tra il fascio di rette e la conica.

Se hai un esempio postalo con la soluzione e magari ti aiutiamo a inserirci i termini giusti per farlo diventare un discorso emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio #10471

avt
m.rita
Punto
Ok allora invio la traccia di un esercizio tipo:

x + y - 1 = 0

x + y -4x + k = 0

0 < y < 1

Grazie mille emt

Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio #10525

avt
cichia
Cerchio
Carissima il sistema è questo?

\begin{cases}x+y-1=0\\x+y-4x+k=0\\0<y<1\end{cases}

Allora io prima di tutto comincerei con questo tipo di analisi: la prima è l'equazione di una retta scritta in forma implicita (quindi senza avere m e q in evidenza). Disegnamola nel piano cartesiano. Per farlo scriviamola nella forma

y=mx+q

quindi nel nostro caso

y=-x+1

che ha coefficiente angolare m=-1 e ordinata all'origine q=1.

Per disegnare una retta ci basta trovare due punti pe cui passa, nel nostro caso ad esempio

A(0,1); B(1,0)

Ora che abbiamo la retta vediamo le limitazioni. Abbiamo 0<y<1. Casualmente (forse emt ) abbiamo già i punti che interessano nel caso in cui

y=0\rightarrow x=1

e

y=1\rightarrow x=0

Come vedi dalla disequazione i punti non sono compresi, e la parte di retta che resta interessante studiare è il segmento tra questi due punti.

Ora passiamo ad esaminare la seconda equazione che rappresenta un fascio di rette.

x+y-4x+k=0

la riscriviamo come

-3x+y+k=0

La seconda equazione rappresenta un fascio improprio di rette. Scriviamo anch'esse in forma esplicita

y=3x-k

Il fascio in questione è un fascio improprio di rette perché il parametro non compare al coefficiente angolare. Quindi bisogna disegnare la retta base del fascio ottenuta ponendo uguale a zero il termine noto e le altre parallele alla prima ottenute facendo variare k.

Quindi la nostra retta base sarà y=3x, che è la retta passante per C(0,0); D(1,3).


Ora già graficamente puoi farti un'idea della soluzione. Restano da trovare le rette del fascio che intersecano i due punti A e B estremi della limitazione.

Sostituiamo quindi A nel fascio di rette ed otteniamo

1=-k

k=-1

Quindi la retta del fascio passante per A(0,1) è

y=3x+1

Cerchiamo ora quella passante per B(1,0)

0=3-k

k=3

Quindi la retta del fascio passante per B è la retta

y=3x-3

Quindi abbiamo una soluzione (l'intersezione tra le due rette) quando abbiamo i valori di k compresi tra quelli passanti per A e B(non compresi) quindi

-1<k<3

Nessuna soluzione altrimenti.
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Sistemi parametrici misti: metodo di risoluzione ed esempio #10933

avt
m.rita
Punto
grazie mille, ho chiarito molti dubbi emt
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Os