Scomposizione di un trinomio con esponenti letterali

Mi serve il vostro aiuto per scomporre un polinomio a esponenti letterali con la regola sul quadrato di binomio, o almeno così dice il mio insegnante. Purtroppo non riesco a riconoscere i due quadrati e quindi non sono in grado di stabilire se il termine mancante sia effettivamente il doppio prodotto o meno.

Scomporre il seguente polinomio come prodotto di fattori irriducibili:



Grazie mille.

Il nostro obiettivo consiste nel fattorizzare il polinomio



dobbiamo, cioè, esprimerlo come prodotto di fattori irriducibili. Tra le varie tecniche di scomposizione, ci saranno particolarmente utili:

- il raccoglimento totale con cui è possibile mettere in evidenza i fattori comuni ai termini che compongono il polinomio;

- la regola sul quadrato di binomio



È il prodotto notevolo che consente di trasformare nel quadrato della differenza tra le basi dei due termini quadratici.

Dopo questo breve preambolo teorico, occupiamoci dell'esercizio.



Raccogliamo totalmente e sfruttiamo le proprietà delle potenze



A questo punto è sufficiente osservare che il trinomio all'interno delle parentesi tonde non è altri che lo sviluppo del quadrato di perché:

- il monomio è il quadrato di , infatti per la regola relativa alla potenza di potenza



- il termine è il quadrato di se stesso, infatti ;

- il termine rappresenta, a meno del segno, il doppio prodotto tra le basi dei due quadrati, infatti:



Poiché il doppio prodotto ha coefficiente negativo, il trinomio si esprime come il quadrato della differenza delle due basi, ossia:



di conseguenza la scomposizione del polinomio dato è:



Ecco fatto.