Equazione trigonometrica con confronto tra seni

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Equazione trigonometrica con confronto tra seni #10056

avt
luciaaa
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica, formata dall'uguaglianza di due seni con argomenti distinti. C'è solo un piccolo problema: il seno al secondo membro è preceduto dal segno meno. Il prof ha suggerito di sfruttare la disparità del seno, ma come?

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin(x)

Grazie.
 
 

Equazione trigonometrica con confronto tra seni #10371

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nel ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica con il seno:

\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin(x)

Per poterla esprimere in forma normale, possiamo sfruttare a nostro vantaggio l'uguaglianza

-\sin(x)=\sin(-x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

dovuta al fatto che il seno è una funzione dispari. Grazie all'uguaglianza, l'equazione diventa

\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin(-x)

A questo punto interviene la regola che garantisce quanto segue: due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno dei due differisce dal complementare di un numero intero di angoli giri. In simboli:

\\ \sin(f(x))=\sin(g(x)) \ \ \ \to  \\ \\ \to \ \ \ f(x)=g(x)+2k\pi  \ \ \ \vee \ \ \ f(x)=\pi-g(x)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Applicando la teoria al caso in questione, ricaviamo le due equazioni di primo grado nell'incognita x

5x+\frac{\pi}{3}=-x+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ 5x+\frac{\pi}{3}=\pi-(-x)+2k\pi

Risolviamole singolarmente partendo dalla prima: è sufficiente isolare l'incognita al primo membro!

\\ 5x+\frac{\pi}{3}=-x+2k\pi \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \ 6x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3}

Per quanto concerne la seconda equazione, i passaggi da seguire sono:

\\ 5x+\frac{\pi}{3}=\pi-(-x)+2k\pi \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \  4x=-\frac{\pi}{3}+\pi+2k\pi \ \ \ \to \\ \\ \to \ \ \ 4x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

Non ci resta altro da fare che dividere per 4 i due membri e scrivere la seconda famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}

In definitiva, siamo autorizzati a concludere che l'equazione

\sin\left(5x+\frac{\pi}{3}\right)=-\sin(x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

x=-\frac{\pi}{18}+\frac{k\pi}{3} \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}

al variare di k nell'insieme dei numeri interi. È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os