Equazione trigonometrica con confronto tra seni

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#10056
avt
luciaaa
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica, formata dall'uguaglianza di due seni con argomenti distinti. C'è solo un piccolo problema: il seno al secondo membro è preceduto dal segno meno. Il prof ha suggerito di sfruttare la disparità del seno, ma come?

Determinare le soluzioni della seguente equazione goniometrica

sin(5x+(π)/(3)) = -sin(x)

Grazie.
#10371
avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica con il seno:

sin(5x+(π)/(3)) = -sin(x)

Per poterla esprimere in forma normale, possiamo sfruttare a nostro vantaggio l'uguaglianza

-sin(x) = sin(-x) per ogni x∈R

dovuta al fatto che il seno è una funzione dispari. Grazie all'uguaglianza, l'equazione diventa

sin(5x+(π)/(3)) = sin(-x)

A questo punto interviene la regola che garantisce quanto segue: due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno dei due differisce dal complementare di un numero intero di angoli giri. In simboli:

sin(f(x)) = sin(g(x)) → ; → f(x) = g(x)+2kπ ∨ f(x) = π-g(x)+2kπ

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Applicando la teoria al caso in questione, ricaviamo le due equazioni di primo grado nell'incognita x

5x+(π)/(3) = -x+2kπ ∨ 5x+(π)/(3) = π-(-x)+2kπ

Risolviamole singolarmente partendo dalla prima: è sufficiente isolare l'incognita al primo membro!

5x+(π)/(3) = -x+2kπ → ; → 6x = -(π)/(3)+2kπ → ; → x = -(π)/(18)+(kπ)/(3)

Per quanto concerne la seconda equazione, i passaggi da seguire sono:

5x+(π)/(3) = π-(-x)+2kπ → ; → 4x = -(π)/(3)+π+2kπ → ; → 4x = (2π)/(3)+2kπ

Non ci resta altro da fare che dividere per 4 i due membri e scrivere la seconda famiglia di soluzioni

x = (π)/(6)+(kπ)/(2)

In definitiva, siamo autorizzati a concludere che l'equazione

sin(5x+(π)/(3)) = -sin(x)

è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni:

x = -(π)/(18)+(kπ)/(3) ∨ x = (π)/(6)+(kπ)/(2)

al variare di k nell'insieme dei numeri interi. È fatta!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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