Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili

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Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9277

avt
toyo10
Frattale
Mi aiutereste con questa equazione differenziale? Bisogna risolvere i problemi di Cauchy con  f(0)=4 , f(0)=0 e l'intervallo massimale.
L'equazione è la seguente:
 y'(t)= \frac{y^2(t)-4y}{t-2}

Vi posto il mio svolgimento, perché penso di aver fatto qualche furbata abusiva...

Per prima cosa {tex} dom (y'(t))=\begin{Bmatrix}
t \in \mathbb{R} : t\neq 2
\end{Bmatrix} {/tex}

Equazione del primo ordine a variabili separabili, quindi:

 \int {\frac{1}{y(y-4)} dy} = \int {\frac{1}{t-2)} dt}

 \int {\frac{1}{y(y-4)} dy} = log |t-2| +c
 {\frac{1}{4} (log |y-4| - log|y|) = log |t-2| +c
 log( \frac{|y-4|}{|y|}) = 4log |t-2| +c
 e^{log( \frac{|y-4|}{|y|})} = e^{4log |t-2| +c}
 \frac{|y-4|}{|y|} =c(|t-2|^4)

Qui mi sono impantanato perchè non riuscivo ad isolormi la y.
Allora ho osato dire:

Considerando f(0)=4 non ha senso considerare y<4 e quindi se ne vanno i moduli al primo membro
 \frac{y-4}{y} =c(|t-2|^4)
Impongo :
 y(0)= \frac{y-4}{y} =16c
 y(0)= y =16cy +4

Ma sappiamo che  y(0)=4 , quindi:
16cy +4=4 \Leftrightarrow c=0 oppure y=0

Questa storia mi puzza però...sopratutto quest'ultimo passaggio.
Qualcuno che ne sa più di me?
 
 

Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9355

avt
Ifrit
Amministratore
Ok, procediamo!

Consideriamo l'equazione differenziale:

y'(t)=\frac{y^2(t)- 4y(t)}{t-2}

è a variabili separabili cioè nella forma:

y'(t)= a(t)b(y(t))

dove

1. a(t)= \frac{1}{t-2} è una funzione continua in \mathbb{R}\setminus\{2\}

2. b(u)= u^2- 4 u che è continua in tutto \mathbb{R}, inoltre è derivabile con derivata continua. Per il teorema di esistenza e unicità locale abbiamo assicurato il fatto che l'equazione differenziale ammette localmente un'unica soluzione.

Il secondo membro della equazione differenziale è definito quindi in

(-\infty, 2)\cup (2, +\infty)\times\mathbb{R}


Troviamo gli zeri della funzione di b, esse saranno le soluzioni costanti dell'equazione differenziale.

b(u)=0\iff u^2-4u=0\iff u(u-4)=0\iff u=0\vee u=4

Le soluzioni costanti associati alla equazione differenziale sono:

y_1(t)= 0\quad\forall t\in(-\infty, 2)

y_2(t)=4\quad\forall t\in(-\infty, 2)

Osserva ora che

y_1(t)=0

è l'unica soluzione del problema di Cauchy

\begin{cases}y'(t)=\frac{y^2(t)-4y(t)}{t-2}\\ y(0)=0\end{cases}

mentre

y_2(0)=4 è l'unica soluzione del problema di Cauchy

\begin{cases}y'(t)=\frac{y^2(t)-4y(t)}{t-2}\\ y(0)=4\end{cases}


in entrambi i casi l'intervallo massimale è (-\infty, 2), perché in questo insieme l'equazione differenziale è ben posta, e la condizione iniziale x_0=0\in (-\infty, 2)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, CarFaby

Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9361

avt
toyo10
Frattale
Non sono abituato a risolvere il questo modo le equazioni differenziali a variabili separabili.
Di solito integro entrambi i membri isolando le variabili y e t.
Cosa mi dici del tuo metodo? E' sempre valido o è un caso qui particolare?

Secondo te mi conviene vedermelo bene?
Sembrerebbe molto più semplice...

Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9490

avt
Ifrit
Amministratore
In realtà il mio non è esattamente un metodo, è quello che devi fare tu prima di isolare le variabili. Va sempre fatto perché in questo modo determini le soluzioni costanti (non sempre ci sono, ad esempio y'(t)=e^{y(t)})
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9950

avt
toyo10
Frattale
Perfetto, ma volendo sarei potuto giungere alle stesse tue conclusioni portando avanti il mio ragionamento?
Cioè, ottenuto \frac{|y-4|}{|y|}=c (|t-2|^4) con t\neq 2 come avrei potuto fare?

Inoltre, cosa bisogna fare praticamente, data una generica y'(t)=a(t)b(y(t)) , per determinare queste soluzioni costanti?

Grazie mille domani ho il II appello (!!), quindi oggi romperò un po'...

Re: Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9953

avt
Ifrit
Amministratore
Guarda, sarò sincero, così su due piedi mi verrebbe da dire che il tuo procedimento è errato. Ad ogni modo per isolare la y potresti procedere come segue:

\frac{|y-4|}{|y|}= \left|\frac{y-4}{y}\right|=
\left|1-\frac{4}{y}\right|

In qualche modo devi togliere il valore assoluto, osserva inoltre che imponendo la condizione iniziale hai che y(0)=0 e il primo membro, per x=0 non esiste. Facciamo così, stasera intorno alle 21 risolverò l'equazione differenziale prendendo come punto iniziale un generico punto e ti farò vedere come si deve procedere emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Dubbio su equazione differenziale a variabili separabili #9954

avt
toyo10
Frattale
Si il mio procedimento è sicuramente errato (ho visto le correzioni), però prima di imporre le condizioni iniziali non mi sembrava ci fossero segni rossi, a meno che non abbia sbagliato risolvendo nuovamente l'equazione riportata sul sito.
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Os