Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange

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Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7123

avt
federico
Cerchio
Ciao dovrei fare un esercizio sul metodo dei moltiplicatori di Lagrange e sul calcolo dei massimi e minimi vincolati.

Devo determinare massimo e minimo della funzione  g(x , y) = |xy| sul vincolo dato dalla circonferenza di centro nell'origine e raggio 1.

Grazie a tutti!
 
 

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7152

avt
frank094
Sfera
Ciao Federico,

intanto premetto che qui - massimi e minimi vincolati - è spiegato nel dettaglio il metodo che ci servirà-

La richiesta è di trovare massimo e minimo della funzione g(x, y) sulla circonferenza di centro nell'origine e raggio uno perciò credo che si tratti essenzialmente di determinarli sulla frontiera di tale insieme:

E = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1 \}

Prima di andare avanti notiamo che il gradiente di questa funzione non è definito quando x = 0 o y = 0 perciò studiamo come si comporta la funzione quando consideriamo punti sulla frontiera con tali coordinate. In particolare questi punti sono

P_1 = (1,0),\ P_2 = (-1,0),\ P_3 = (0,1),\ P_4 = (0,-1)

In tutti questi punti la funzione assume il valore 0 che è il minimo assoluto.

Procediamo ora con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange definendo una nuova funzione

\mathbb{L}(x, y, \lambda) = g(x, y) - \lambda h(x, y)

\mathbb{L}(x, y, \lambda) = |xy| - \lambda (x^2 + y^2 - 1)

Cerchiamo i punti stazionari di questa particolare funzione imponendone il gradiente \nabla \mathbb{L} uguale a zero; fatto ciò risolviamo il sistema che viene fuori.

\begin{Bmatrix} g_x = \lambda h_x \\ g_y = \lambda h_y \\ h_\lambda = 0 \end{matrix}

\begin{Bmatrix} \frac{x |y|}{|x|}  = 2 \lambda x \\ \frac{y |x|}{|y|} = 2 \lambda y \\ x^2 + y^2 = 1 \end{matrix}

Si ottiene, con qualche semplificazione, che

\begin{Bmatrix} \frac{|y|}{|x|}  = 2 \lambda \\ \frac{ |x|}{|y|} = 2 \lambda \\ x^2 + y^2 = 1 \end{matrix}

Possiamo immediatamente porre i moduli uguali tra di loro e vedere quindi la relazione che intercorre tra la x e la y:

\frac{|y|}{|x|} = \frac{|x|}{|y|}

x^2 = y^2

Sostituiamo questo risultato nella terza equazione del sistema e troviamo

x^2 + x^2 = 1 \qquad \to \qquad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

da cui si ottiene che i quattro punti da considerare sono

P_5 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right),\ P_6 = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right),\ P_7 = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\ P_8 = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)

In tutti questi punti la funzione assume il suo valore massimo assoluto che corrisponde a \frac{1}{2}.

Non sono sicurissimo del procedimento ma mi sembra fatto bene .. voi altri che cosa ne dite?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7166

avt
federico
Cerchio
Poiché i punti P_1,P_2,P_3,P_4 annullano la funzione fanno si che non sia regolare e quindi non posso applicare Lagrange e devo parametrizzare la circonferenza?

Correggetemi se sbaglio, il problema è che anche con la parametrizzazione non so come risolverlo.

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7171

avt
frank094
Sfera
Non è tanto perché annullano la funzione quanto per il fatto che il gradiente non è definito e quindi non sarebbe in alcun modo possibile risalire alla natura di tali punti. Si ha infatti

\nabla g(x, y) = \left( \frac{x|y|}{|x|}, \frac{|x|y}{|y|} \right)

Ed è ovvio che non è definita in tutti i punti in cui almeno una delle due coordinate vale zero ( non è definita sugli assi cartesiani, insomma ).

Noi stiamo lavorando con la frontiera quindi non è necessaria alcuna parametrizzazione ma semplicemente l'intersezione tra gli assi cartesiani e la circonferenza che ci danno i punti (1, 0), (-1, 0), (0, 1) e (0, -1).
Ringraziano: Omega, CarFaby

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7177

avt
federico
Cerchio
a ok..ho chiesto perchè la prof ci aveva detto come via di risoluzione che la funzione non è differenziabile sugli assi quindi nn si può usare il metodo dei moltiplicatori di lagrange e devo parametrizzare la circonferenza ma anche io non capivo il perchè...grazie mille

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7182

avt
frank094
Sfera
Ah, ma così è tutto un altro discorso.

Io ho evitato di parametrizzare perché i punti in cui non è definito il gradiente sono facilmente individuabili e poi, supponendo che x ed y siano diverse da 0, ho sfruttato i moltiplicato di Lagrange.

Ricordiamo che la circonferenza si può parametrizzare in coordinate polari come

h(\rho, \theta) = \begin{Bmatrix} x(\theta) = \rho \cos{(\theta)} \\ y(\theta) = \rho \sin{(\theta)} \end{matrix}

Nel nostro caso si trova facilmente che la circonferenza di raggio uno e centro origine si può parametrizzare come

h(1, \theta) = \begin{Bmatrix} x(\theta) = \cos{(\theta)} \\ y(\theta) = \sin{(\theta)} \end{matrix}

Andando a sostituire nella funzione iniziale si ottiene una funzione di una sola variabile

g(\theta) = |\cos{(\theta)} \sin{(\theta)}|

La derivata di questa funzione è

g'(\theta) = \frac{\sin{(4\theta)}}{2 |\sin{(2\theta)}|}

I punti stazionari di tale funzione sono ovviamente

\theta_1 = - \frac{\pi}{4} \qquad \theta_2 = \frac{\pi}{4} \qquad \theta_3 = \frac{3 \pi}{4} \qquad \theta_4 =  \frac{5\pi}{4}

Tali punti corrispondono a quelli di massimo già trovati con i moltiplicatori di Lagrange.
Il problema è che nei punti di minimo la funzione non risulta in alcun modo derivabile quindi non possiamo dire nulla su questi nè tramite Lagrange nè tramite parametrizzazione..

Il fatto però è che a mio parere quelli sono punti di minimo perché la funzione vi assume il minimo assoluto come puoi vedere anche dal grafico della funzione.

Purtroppo non so dirti di più perciò aspettiamo qualcuno di più esperto che possa confermare o smentire quanto da me detto emt !
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Calcolo massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange #7187

avt
federico
Cerchio
ok grazie mille gentilissimo.. vediamo se qualcuno ci dice altro..
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Os