Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange

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Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #6908

avt
federico
Cerchio
Salve, avrei bisogno di risolvere un esercizio sui massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, magari facendo tutti i vari passaggi in modo che riesco a capire come trattare questa tipologia di esercizi che non riesco proprio a capire. Grazie mille!

L'esercizio è il seguente: trovare massimi e minimi assoluti per la funzione

f(x,y,z) = x^(2)-y^(2)

sul vincolo E = (x,y,z) ∈ R^(3) : x^(2)+y^(2)+z^(2) ≤ 1

per i punti critici interni specificare se si tratta di punti di massimo relativo, minimo relativo, o punti di sella.

Grazie mille!
 
 

Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #6986

avt
federico
Cerchio
qualcuno sa come aiutarmi perfavore?? sto andando nel panico perchè non so come muovermi...

Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #6995

avt
Ifrit
Amministratore
Ok iniziamo...attenzione però che Lagrange si può applicare su vincoli definiti da equazioni, dunque potremo usarlo solo sulla frontiera. In ogni caso il metodo generale per la ricerca dei massimi e minimi vincolati è descritto nella lezione del link.

Abbiamo una funzione di 3 variabili:

f(x, y,z) = x^2-y^2

Da studiare nell'insieme compatto:

E = (x, y, z): x^2+y^2+z^2 ≤ 1

Nota che questa è una bolla (o sfera piena) chiusa di centro (0,0,0) e raggio 1

La funzione f è continua in E (è una funzione polinomiale, ) e per il teorema di Weierstrass f ammette massimo e minimo assoluti.

Per determinarli concentriamoci prima sulla parte interna della bolla: procederemo con il metodo standard per la ricerca dei massimi e minimi in due variabili

E^ circ = (x, y, z): x^2+y^2+z^2 < 1

I punti critici della funzione annulleranno il gradiente associato alla funzione in questione.

Determiniamo le derivate parziali:

f_x(x, y, z) = 2x

f_y(x, y, z) = -2y

f_z(x, y, z) = 0

Impostiamo il sistema:

2x = 0 ;-2y = 0

Quindi le triple che soddisfano il sistema sono del tipo

(0,0, z) con -1 < z < 1

A questo punto costruiamo la matrice Hessiana:

H_f(0, 0, z) = [f_(xx) f_(xy) f_(x z) ; f_(y,x) f_(yy) f_(y z) ; f_(z x) f_(z y) f_(zz)]


Dove:

f_(xx)(x, y, z) = 2
f_(x y)(x, y, z) = f_(y, x)(x, y, z) = 0
f_(x z)(x, y, z) = f_(z x)(x, y,z) = 0
f_(yy)(x, y, z) = -2
f_(zz)(x, y, z) = 0


H_f(x, y, z) = [2 0 0 ; 0 -2 0 ; 0 0 0]

Gli autovalori della matrice Hessiana sono

λ_1 = 2, λ_2 = -2, λ_3 = 0

Poiché abbiamo variazioni di segno (abbiamo sia autovalori positivi che negativi) allora (0, 0, z) non sono ne punti di massimo ne punti di minimo in E°.

Poiché l'esistenza del massimo e minimo assoluti è assicurata dal teorema di Weierstrass, e non essendo in E° allora saranno sul bordo di E:

del E = (x, y, z): x^2+y^2+z^2 = 1

In questo caso abbiamo un vincolo definito con l'equazione:

g(x, y, z) = 0

dove

g(x, y, z) = x^2+y^2+z^2-1

Utilizzeremo i moltiplicatori di Lagrange e per farlo costruiamo la funzione langrangiana

L(x, y, z, λ) = f(x, y, z)-λ g(x, y, z) =
= x^2-y^2-λ(x^2+y^2+z^2-1)


Cerchiamo i punti stazionari di L(x, y, z, λ)

calcolando le derivate parziali:

L_x(x, y, z, λ) = 2x-2λ x

L_y(x, y, z, λ) = -2y-2λ y

L_z(x, y, z, λ) = -2λ z

L_(λ)(x, y, z, λ) = 1-x^2-y^2-z^2


Imponendo a zero tutte le derivate parziali avremo il sistema:

2x-2λ x = 0 ;-2y-2λ y = 0 ;-2λ z = 0 ; 1-x^2-y^2-z^2

Risolvendo il sistema avremo:
[Nota i punti sono espressi come (x, y, z, λ)]

P_1 = (0,-1, 0, 1)

P_2 = (0, 1, 0, 1)

P_3 = (0, 0,-1, 0)

P_4 = (0, 0, 1, 0)

P_5 = (-1, 0, 0, 1)

P_6 = (1, 0, 0, 1)


I punti estremali per la funzione f sono quindi:

P'_1 = (0,-1, 0)

P'_2 = (0, 1, 0)

P'_3 = (0, 0,-1)

P'_4 = (0, 0, 1)

P'_5 = (-1, 0, 0)

P'_6 = (1, 0, 0)

Valuta la funzione f nei punti P'

f(P'_1) = -1

f(P'_2) = -1

f(P'_3) = 0

f(P'_4) = 0

f(P'_5) = 1

f(P'_6) = 1


Possiamo quindi concludere che:

P'_1, P'_2 sono punti di minimo assoluti

P'_5, P'_6 sono punti di massimo assoluti

Controlla i risultati emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, CarFaby

Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #6997

avt
federico
Cerchio
una cosa, per poter applicare il metodo dei moltiplicatori di lagrange devo prima controllare se il gradiente del vincolo bigtriangledown g ne 0??

Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #7015

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, quella condizione ti assicura che i punti trovati sono effettivamente di massimo o di minimo. Nel caso in questione, gradiente del vincolo nel punto non si annulla mai.
Ringraziano: Omega, paperino

Esercizio massimi e minimi vincolati con Lagrange #7022

avt
federico
Cerchio
nel punto intendi su tutti i punti del bordo che vado ad esaminare giusto??
mentre f(P'3) e F(P'4) che punti sono?
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Os