Problema di Cauchy (con equazione differenziale di Bernoulli)

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Problema di Cauchy (con equazione differenziale di Bernoulli) #6410

avt
Ihsahn666
Punto
Ragazzi potreste aiutarmi con un problema di Cauchy con un'equazione differenziale di Bernoulli, per favore?

y'= 2y-e^x y^2 ; y(1) = 1


Un esercizio di questo tipo come si risolve? Grazie.
 
 

Problema di Cauchy (con equazione differenziale di Bernoulli) #6418

avt
frank094
Sfera
Ciao Lhsahn666,
il problema di Cauchy che ci troviamo di fronte è solo all'apparenza complesso: in realtà si tratta di una equazione differenziale di Bernoulli facilmente risolvibile con qualche passaggio.

Innanzitutto ricordiamo che una equazione differenziale di Bernoulli è espressa nella forma

y'(x)+g(x) y(x) = h(x) y^n(x)

Nel nostro caso dobbiamo ricondurci a tale forma sottraendo a destra e sinistra la quantità 2y(x) così da ottenere

y'(x)-2y(x) = -e^x y^2(x)

Ricondotti ora alla forma dell'equazione differenziale di Bernoulli ricorriamo alla risoluzione notevole proposta dallo stesso matematico.

1° Step: dividiamo l'equazione differenziale a destra e sinistra per y^2(x):

(1)/(y^2(x)) y'(x)-(2)/(y(x)) = -e^x

Approfittiamone anche per scrivere la derivata nella sua definizione di (d)/(dx) y(x):

(1)/(y^2(x)) (dy(x))/(dx)-(2)/(y(x)) = -e^x

2° Step: sfruttiamo adesso la sostituzione

w(x) = (1)/(y(x)) qquad → qquad w'(x) = -(1)/(y^2(x))·(d y(x))/(dx)

Andiamo a sostituire nell'equazione differenziale per ottenere

-w'(x)-2 w(x) = -e^x

w'(x)+2 w(x) = e^x

Ci siamo ricondotti ad una equazione differenziale lineare del primo ordine facilmente risolvibile moltiplicando per un fattore e^(2x):

e^(2x) (w'(x)+2 w(x)) = e^(3x)

Il primo membro altro non è che la derivata della funzione e^(2x) w(x) perciò integriamo in dx a destra e sinistra:

e^(2x) w(x) = ∫ e^(3x) dx

e^(2x) w(x) = (1)/(3) e^(3x)+c_1

da cui si ottiene

w(x) = (1)/(3) e^(x)+(c_1)/(e^(2x))

Sostituiamo di nuovo la y(x) e ricaviamola da questa espressione ..

1 = (1)/(3) e^(x) y(x)+(c_1 y(x))/(e^(2x))

y(x) = (3e^(2x))/(3 c_1+e^(3x))

Trovata questa funzione imponiamo la condizione del problema di Cauchy:

y(1) = (3e^2)/(3c_1+e^3) = 1

3e^2 = 3c_1+e^3

3e^2-e^3 = 3c_1

Sostituiamo nella soluzione generale

y(x) = (3e^(2x))/(3e^2-e^3+e^(3x))

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Ludacris, GiGiGioGio

Problema di Cauchy (con equazione differenziale di Bernoulli) #6419

avt
Ihsahn666
Punto
Si si,grazie mille emt
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Os