Parametrizzazione di un segmento tra due punti

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Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61601

avt
Ludacris
Cerchio
Mi spieghereste come parametrizzare un segmento con estremi dati da due punti A,B? Inoltre come si fa a scegliere la parametrizzazione del segmento in modo che esso sia percorso da un estremo all'altro?

Vi ringrazio in anticipo!
 
 

Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61612

avt
Galois
Amministratore
Ciao Ludacris,

per parametrizzare un segmento esistono più modi.


Un metodo prevede di ragionare come segue: detti A(x_A, y_A), \  B(x_B,y_B) due punti, il segmento che va da A a B avrà equazioni parametriche:

\gamma_{A\to B}(t)=\begin{cases}x(t)= x_A+t(x_B-x_A)\\ y(t)= y_A+t (y_B-y_A)\end{cases}\quad t\in [0,1]

Osserva infatti che per t=0 otteniamo proprio il A(x_A, y_A), mentre per t=1 otteniamo proprio il punto B(x_B,y_B)

Se invece siamo alla ricerca della parametrizzazione del segmento che va da B a A avrà equazioni parametriche:

\gamma_{B\to A}(t)=\begin{cases}x(t)= x_B+t(x_A-x_B)\\ y(t)= y_B+t (y_A-y_B)\end{cases}\quad t\in [0,1]

In questo caso infatti osserva che per t=0 otteniamo le coordinate del punto B, per t=1 le coordinate del punto A.

Questo è il "metodo classico" che si utilizza ma, come dicevo all'inizio, non è l'unico!


Prendiamo ad esempio i punti A(2,0) e B(1,3) e supponiamo di voler parametrizzare il segmento che va da A a B senza utilizzare la "formula" precedente.

Scriviamo l'equazione della retta per due punti:

r_{AB}: \ \frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{x-x_A}{x_B-x_A}

che nel nostro caso è:

3x+y-6=0

Se vogliamo la sua equazione in forma parametrica ci basta assegnare ad una variabile il "ruolo di parametro" e ricavare l'altra in funzione del parametro.

Poniamo, ad esempio y=t

L'equazione parametrica della nostra retta sarà quindi:

\begin{cases}y=t \\ x=\frac{6-t}{3} \end{cases}

A noi serviva l'equazione parametrica del segmento che va da A a B. Guardiamone quindi le coordinate.

y_A=0 e y_B=3

Pertanto l'equazione parametrica del segmento che va da A a B sarà:

\begin{cases}y=t \\ x=\frac{6-t}{3} \end{cases} \ t \in [0,3]
Ringraziano: Omega, Ifrit, danying, CarFaby, Ludacris, artemides81, matteo1996

Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61635

avt
Ludacris
Cerchio
Grazie mille per la risposta Galois!

Ho capito perfettamente, il secondo metodo mi sembra un po' più intuitivo.

A questo punto mi sorge però spontanea la domanda: e se imponessi x=t\ ?

Ho provato a farlo ed ottengo la curva parametrica

\begin{cases} x=t \\ y=-3t+6\end{cases} \ t \in [2,1]

poiché x_A=2\mbox{ e }x_B=1.

Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61653

avt
Omega
Amministratore
Puoi sostituire x=t al posto di y=t nell'equazione della retta, ma non puoi non tenere conto dell'ordinamento dei numeri reali.

Trattando x=t come parametro, ricavi

\begin{cases} x=t \\ y=-3t+6\end{cases} \ t \in [1,2]

dunque tale scelta ti conduce a percorrere il segmento da B ad A.

Quando scegli una variabile come parametro e passi dalla cartesiana alle parametriche, sono i valori delle coordinate estreme per quella variabile che definiscono implicitamente il verso di percorrenza.

Non puoi leggere l'intervallo di variabilità del parametro al contrario. Alla scelta di una variabile rispetto all'altra segue forzatamente il verso di percorrenza.

Personalmente preferisco la scrittura diretta delle equazioni parametriche del segmento. Credo che siano molto più intuitive del procedimento cartesiana -> parametriche.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, Ludacris

Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61666

avt
Ludacris
Cerchio
Ti ringrazio,

per la scrittura diretta delle parametriche ho un po' di difficoltà.

Ho provato ad utilizzare questo metodo per i punti A(2,0)\mbox{ e }B(1,3) in modo da poter verificare se ottenevo lo stesso risultato del procedimento cartesiana -> parametriche di cui abbiamo parlato, ma ho ottenuto tutt'altro.

Potrei chiedere per gentilezza un aiuto a riguardo, magari se possibile con un esempio, di come si ottiene la rappresentazione parametrica del segmento usando la forma

\gamma_{A\to B}(t)=\begin{cases}x(t)= x_A+t(x_B-x_A)\\ y(t)= y_A+t (y_B-y_A)\end{cases}\quad

ed il suo rispettivo intervallo del tipo t\in[a,b]\ ?

Parametrizzazione di un segmento tra due punti #61668

avt
Omega
Amministratore
Quella rappresentazione più che altro può essere assunta a definizione come parametrizzazione del segmento. E ragionandoci un po' non è difficile capire perché.

Dai vari post che hai scritto, qui e in altri topic, sembra quasi che tu abbia timore nel valutare le rappresentazioni parametriche per arbitrari valori del parametro. Fallo, è utile per avere un'idea di come funzionano le rappresentazioni parametriche delle curve.

Però devi fare più attenzione: con l'ultima rappresentazione per il segmento che hai scritto, devi prendere t\in [0,1] per definizione.
Ringraziano: Ludacris
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Os