Integrale di una forma differenziale lungo un segmento

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Integrale di una forma differenziale lungo un segmento #60765

avt
gost93
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di calcolare l'integrale di una forma differenziale in tre variabili lungo un segmento di cui conosco gli estremi. Come dovrei procedere?

Calcolare l'integrale della seguente forma differenziale lungo il segmento congiungente i punti A(0,0,0) con B(2,3,1)

ω = (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz

Grazie.
 
 

Integrale di una forma differenziale lungo un segmento #60873

avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare l'integrale della forma differenziale

ω = (y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz

lungo il segmento di estremi

A(x_(A),y_(A),z_(A)) = (0,0,0) ; B(x_(B),y_(B),z_(B)) = (2,3,1)

bisogna innanzitutto determinare una parametrizzazione del segmento.


Parametrizzazione del segmento

In generale per parametrizzare un segmento di estremi A(x_(A),y_(A),z_(A)) e B(x_(B),y_(B),z_(B)), orientato da A a B, basta usare le seguenti relazioni

γ_(A → B)(t) = x(t) = x_(A)+t(x_(B)-x_(A)) ; y(t) = y_(A)+t(y_(B)-y_(A)) ; z(t) = z_(A)+t(z_(B)-z_(A)) con t∈[0,1]

Si noti che γ_(A → B)(0) = A mentre γ_(A → B)(1) = B.

Nel caso considerato, le coordinate del punto A sono tutte nulle

x_(A) = 0 ; y_(A) = 0 ; z_(A) = 0

mentre quelle di B sono

x_(B) = 2 ; y_(B) = 3 ; z_(B) = 1

perciò una possibile parametrizzazione del segmento AB è

γ_(A → B)(t) = x(t) = 2t ; y(t) = 3t ; z(t) = t con t∈[0,1]


Integrale di una forma differenziale

Per definizione, l'integrale di una forma differenziale

ω = F_1(x,y,z) ,dx+F_2(x,y,z) ,dy+F_3(x,y,z) ,dz

lungo una curva regolare a tratti

γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) con t∈[a,b]

contenuta nel dominio della forma differenziale, è dato dalla seguente relazione

∫_(γ)ω = ; = ∫_(a)^(b)F_1(x(t),y(t),z(t)) x'(t)+F_2(x(t),y(t),z(t)) y'(t)+F_3(x(t),y(t),z(t))z'(t) ,dt

dove x'(t),y'(t),z'(t) sono le derivate delle componenti della curva γ.

Nel caso considerato le funzioni che compongono la forma differenziale sono:

F_1(x,y,z) = y+z ; F_2(x,y,z) = x+z ; F_3(x,y,z) = x+y

pertanto se le componiamo con le componenti di γ_(A → B)(t) ricaviamo

• F_1(x(t),y(t),z(t)) = y(t)+z(t) = 3t+t = 4t ; • F_2(x(t),y(t),z(t)) = x(t)+z(t) = 2t+t = 3t ; • F_3(x(t),y(t),z(t)) = x(t)+y(t) = 2t+3t = 5t

Le derivate delle componenti della curva γ_(A → B)(t) valgono rispettivamente:

x'(t) = 2 ; y'(t) = 3 ; z'(t) = 1

Abbiamo finalmente tutti gli elementi per calcolare l'integrale della forma differenziale

∫_(γ)ω = ; = ∫_(a)^(b)F_(1)(x(t),y(t),z(t))x'(t)+F_2(x(t),y(t),z(t))y'(t)+F_3(x(t),y(t),z(t))z'(t) ,dt =

= ∫_(0)^(1)[4t·2+3t·3+5t·1] ,dt = ∫_(0)^(1)22 t ,dt =

Non ci resta che esplicitare l'integrale definito

= 22·[(t^2)/(2)]_(t = 0)^(t = 1) = 22((1)/(2)-0) = 11

e concludere che l'integrale di ω lungo il segmento γ_(A → B) è 11.

∫_(γ)ω = 11

È fatta!


Nota

A conti fatti, l'integrale di una forma differenziale è un integrale curvilineo di seconda specie: vi invitiamo ad approfondire leggendo la lezione dedicata.
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Os