Problema di Cauchy del secondo ordine non omogeneo

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Problema di Cauchy del secondo ordine non omogeneo #58471

avt
pompiero
Punto
Ciao a tutti sto provando a risolvere questo problema di Cauchy con un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine

y''-2y'+6y = e^(2x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 0

allora inizio trovando prima la soluzione dell'omogenea associata tramite l'equazione caratteristica. Trovate le radici di quest'ultimo ho problemi nell'affrontare il resto dello svolgimento!

Ho provato prima con il metodo del wronskiano però ho capito subito che non è quello più agevole per questo tipo di esercizio, dovrei usare quello per sostituzione? Se sì potreste gentilmente chiarirmelo?

Ho trovato già studiato la spiegazione qui sul sito però trovo difficoltoso capire quale via intraprendere e soprattutto come! Grazie in anticipo
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine non omogeneo #58480

avt
Galois
Amministratore
Ciao Pompiero emt

Prima di procedere ti faccio notare che il tuo messaggio non rispetta le linee guida obbligatorie del Forum. Quello che scrivi non è un procedimento. Dici di aver trovato le radici dell'omogenea ma io non le vedo.. Dici di aver letto la lezione ma di non aver capito. Cosa nello specifico? Essendo il tuo primo messaggio risponderò, ma dal prossimo non sarà più così emt

Dobbiamo risolvere il Problema di Cauchy:

y''-2y'+6y = e^(2x) ; y(0) = 0 ; y'(0) = 0

Iniziamo col trovare l'integrale generale dell'equazione omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti:

y''-2y'+6y = 0

Il polinomio caratteristico ad essa associato è:

λ^2-2 λ+6 = 0

Che ha come soluzioni due radici complesse (coniugate):

λ_(1,2) = 1±√(5)

Come ampiamente spiegato nella lezione che ti ho linkato, la soluzione o meglio l'integrale generale dell'omogenea sarà:

y_O (x) = c_1 e^(x) cos (√(5)x)+c_2 e^(x) sin (√(5)x)

con c_1, c_2 ∈ R

Passiamo ora a trovare una soluzione particolare bary(x) della non omogenea col metodo di somiglianza

Il termine noto è del tipo:

Q(x)·e^(λ x)

con Q(x) polinomio di grado zero e λ = 2.

Poiché λ = 2 non è radice del polinomio caratteristico, la nostra soluzione particolare sarà del tipo:

bary (x) = barQ(x) e^(2x)

con barQ(x) polinomio dello stesso grado di Q(x), ovvero polinomio di grado zero, e quindi barQ(x) = A.

Ricapitolando quindi:

bary(x) = Ae^(2x)

Ora, copio-incollo parte della lezione:

una volta trovata tale bary(x) la deriverò fino all'ordine due, e sostituirò:

bary''(x) al posto di y''(x)

bary'(x) al posto di y'(x)

bary(x) al posto di y(x)

nell'equazione differenziale di partenza imponendo poi uguali i termini simili.


Procediamo. Nel nostro caso

bary (x) = A e^(2x), da cui:

bary'(x) = 2A e^(2x)

bary''(x) = 4A e^(2x)

Sostituendo in y''-2y'+6y = e^(2x) abbiamo:

4A e^(2x)-4A e^(2x)+6A e^(2x) = e^(2x) → 6Ae^(2x) = e^(2x)

Da cui, deve essere: 6A = 1, ovvero A = (1)/(6) e quindi:

bary(x) = (1)/(6) e^(2x)

Ne segue che l'integrale generale della nostra equazione sarà:

y(x) = y_O (x)+ bary (x) = c_1 e^(x) cos (√(5)x)+c_2 e^(x) sin (√(5)x)+(1)/(6) e^(2x)

Non ti rimane altro da fare se non trovare le soluzioni del Problema di cauchy imponendo le due condizioni iniziali emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, pompiero, chiedivenia, Daviduz
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