Equazione differenziale con limite

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione differenziale con limite #57368

avt
AmberRise90
Punto
Salve a tutti emt ho svolto un esercizio sulle equazioni differenziali in cui devo dimostrare una proprietà delle soluzioni relativa ad un limite. Secondo voi l'ho interpretato bene?
Thanks emt

Risolvere l'equazione differenziale

y''-y = (1)/(1+e^(x))

e dimostrare che per ogni soluzione y esiste A appartenente a R tale che

lim_(x → ∞)y(x)-Ae^(x) = 0


L'omogenea è y''-y = 0 quindi l'equazione caratteristica è λ^(2)-1 = 0 le cui soluzioni sono λ = ±1.

Ho quindi due radici del polinomio caratteristico distinte ed entrambe con molteplicità m = 1

La soluzione dell'omogenea è allora

y_(0)(x) = (c_(1)e^(λ_(1)x))+c_(2)e^(λ_(2)x) = (c_(1)e^(-x)+c_(2)e^(x))

Utilizzo ora il metodo di variazione delle costanti, il che vuol dire cercare una soluzione particolare di questo tipo:

y_(p)(x) = (c_(1)(x)e^(-x)+c_(2)(x)e^(x))

c_(1) , c_(2) devono soddisfare queste condizioni:

• c_(1)^(')y_(1)+c_(2)^(')y_(2) = 0 e

• c_(1)^(')y_(1)^(')+c_(2)^(')y_(2)^(') = ((1)/(1+e^(x)))

dalle quali ottengo che

• c_(1)^(') = (-e^(x))/(2+2e^(x))

• c_(2)^(') = (1)/(2e^(x)(1+e^(x)))

Ora cerco le primitive:

c_(1) = ∫(-e^(x))/(2+2e^(x))dx = ((-1)/(2)(log(2+2e^(x)))) e c_(2) = (∫_()^()(1)/(2e^(x)+2e^(2x)) dx) = ((1)/(2))log_()((1+e^(x))/(e^(x))) -((1)/(2e^(x)))

La soluzione generale è quindi:

y(x) = (y_(p)(x)+y_(0)(x)) = ((-1)/(2)(; log_()(2+2e^(x))))+((1)/(2))log_()((1+e^(x))/(e^(x))) -((1)/(2e^(x)))+(c_(1)e^(-x)+c_(2)e^(x))

Si deve ora dimostrare che:

lim_(x → ∞)((-1)/(2)(; log_()(2+2e^(x))))+((1)/(2))log_()((1+e^(x))/(e^(x))) -((1)/(2e^(x)))+(c_(1)e^(-x)+c_(2)e^(x))-Ae^(x) = 0


[Mod=Ifrit] Modificato messaggio iniziale [/Mod]
 
 

Re: Equazione differenziale con limite #57406

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao AmberRise90 emt

Ti devo avvertire che quella che hai scritto non è proprio una equazione differenziale emt, è meglio riportarla così:

y''-y = (1)/(1+e^(x))

o alla peggio:

y^(2)-y = (1)/(1+e^(x))

con le parentesi tonde per indicare l'ordine di derivazione. Scrivere y^2-y = (1)/(1+e^(x)) è errato perché il testo diventa interpretabile (così com'è penserei al luogo dei punti del piano che soddisfano quell'equazione) emt


Ad ogni modo, quella che proponi è una equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea, a coefficienti costanti.

La famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea associata è corretta:

y_0(x) = c_1 e^(-x)+c_2 e^(x)

ottimo!

Per la soluzione particolare procedi con il metodo della variazione delle costanti (che t'ho linkato prima)

Andiamo quindi alla ricerca di una funzione del tipo:

y_(p)(x) = c_1(x) e^(-x)+c_2(x) e^(x)

con c_1(x) e c_2(x) funzioni della variabile x da determinare tramite il sistema:

c_1'(x) e^(-x)+c_2'(x)e^(x) = 0 ;-c_1'(x) e^(-x)+c_2'(x)e^(x) = (1)/(1+e^(x))

Si ottiene facilmente che:

c_1'(x) = -(e^x)/(2(1+e^(x)))

e

c_2'(x) = (e^(-x))/(2(1+e^x))

confermando così i tuoi risultati.

Ora, integrando membro a membro rispetto ad x

c_1(x) = -(1)/(2)ln(1+e^x) (a meno di costanti additive è lo stesso risultato che riporti emt )

c_2(x) = (1)/(2)ln((1+e^(x))/(e^(x)))-(1)/(2e^(x))

I tuoi conti sono perfetti emt

La soluzione particolare a questo punto è:

y_p(x) = c_1(x)e^(-x)+c_2(x)e^(x) =

= -(1)/(2)ln(1+e^x) e^(-x)+((1)/(2)ln((1+e^(x))/(e^(x)))-(1)/(2e^(x))) e^(x) =

= -(1)/(2)+(1)/(2) e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x)))-(1)/(2)e^(-x)ln(1+e^(x))

In definitiva la famiglia di funzioni che soddisfa l'equazione differenziale è:

y(x) = y_0(x)+y_p(x) =

= -(1)/(2)+(1)/(2) e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x)))-(1)/(2)e^(-x)ln(1+e^(x))+c_1 e^(-x)+c_2 e^(x)

Impostiamo il limite:

lim_(x → ∞)y_0(x)+y_p(x)-A e^(x)

ed osserva che quando x tende a infinito

c_1 e^(-x) → 0

(1)/(2)e^(-x)ln(1+e^(x)) → 0

(1)/(2) e^(x)ln((e^(x)+1)/(e^(x))) → (1)/(2)

In definitiva quello che sopravvive del limite è:

lim_(x → ∞) c_2 e^(x)-A e^(x) = lim_(x → ∞) (c_2-A)e^(x)

Questo limite è zero se e solo se A = c_2
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, AmberRise90, tarlev93

Re: Equazione differenziale con limite #57633

avt
AmberRise90
Punto
Grazie emt
Ringraziano: nasmoaa
  • Pagina:
  • 1
Os