Integrale di linea su una circonferenza

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Integrale di linea su una circonferenza #56771

avt
link
Cerchio
Ciao, ho questo integrale da calcolare su una circonferenza

∫_(+dC)[x^2dx+yxdy]

dove C è il cerchio centrato in (0,0) e raggio 1.

Ho fatto lo studio in coordinate polari

x = x_0+rcos(t) = rcos(t)
y = y_0+rsin(t) = rsin(t)

Ho trovato l'equazione della circonferenza: x^2+y^2 = 1

Il dominio di integrazione

D = (x,y)∈ R^2 : x^2+y^2 ≤ 1

Sostituendo x e y in coordinate polari

D = (r,t) : 0 ≤ r ≤ 1

Lo Jacobiano mi risulta uguale a r

∫_(0)^(1)∫_(0)^(2pi)(?)

Il mio problema è che non so come sostituire all'interno dell'integrale. Cioè so che sostituisco x ed y, ma nel mio integrale c'è un membro in cui figura solo dx ed un altro in cui figura solo dy. Non so se sono stato chiaro. Potete aiutarmi?
Vi ringrazio!
 
 

Integrale di linea su una circonferenza #56798

avt
Ifrit
Amministratore
Aspetta link, quello è un integrale di una forma differenziale. (Modifico il titolo).

Per definizione:

sia ω = a(x,y)dx+b(x,y)dy una forma differenziale definita in un aperto Ω ⊂ R^2 e sia γ: [a,b] → Ω una curva parametrica derivabile con derivata continua, allora:

∫_(γ)ω = ∫_(a)^(b)a(γ(t))γ_1'(t)+b(γ(t)) γ_2'(t)dt

Nel nostro caso la forma differenziale è

ω = x^2 dx+y x dy

dove a(x,y) = x^2 e b(x,y) = x y

γ(t) = (cos(t), sin(t)) con t∈ [0, 2π]

di conseguenza la funzione integranda è:

a(γ(t))γ_1'(t)+b(γ(t))γ_2'(t) =

= cos^2(t)(-sin(t))+cos(t)sin(t)·cos(t) = 0

In definitiva l'integrale è 0.

Nota che alla fine della fiera abbiamo calcolato un integrale di linea di seconda specie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, link

Re: Integrale di linea su una circonferenza #56880

avt
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Cerchio
Chiaro e mi trovo con i calcoli.

Grazie Ifrit!
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Os