Integrale doppio, dominio di integrazione con modulo

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Integrale doppio, dominio di integrazione con modulo #56676

avt
AmberRise90
Punto
Ciao, potreste aiutarmi col procedimento risolutivo di questo integrale doppio e con l'insieme di integrazione? C'è un modulo e non so come comportarmi...

iint_(E) ycos^2(y-x) dx dy ; E = 0 ≤ y ≤ (π)/(2), |x-y| ≤ (π)/(2)

Per disegnare il devo considerare il valore numerico di pi greco? Come si procede col modulo? Conviene risolvere l'integranda per parti?

[Edit - Omega] Spoilerizzo il tentativo di risoluzione, immagino ci siano diversi errori LaTeX. Ad ogni modo le risposte di Ifrit chiariscono tutto.[/Edit]

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo

Grazie in anticipo.
 
 

Integrale doppio, dominio di integrazione con modulo #56704

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao AmberRise90,

io consiglio di procedere per sostituzione ponendo:

y-x = u, y = v

da cui segue che

x = v-u

Grazie a questa sostituzione il dominio di integrazione si trasforma in:

E'= (u, v)∈R^2: 0 ≤ v ≤ (π)/(2), |u| ≤ (π)/(2)

Da notare che la disequazione con valore assoluto è soddisfatta se:

-(π)/(2) ≤ u ≤ (π)/(2)

Il dominio di integrazione si scriverà quindi come

E'= (u, v)∈R^2: 0 ≤ v ≤ (π)/(2),-(π)/(2) ≤ u ≤ (π)/(2)

che è un rettangolo con lati paralleli agli assi cartesiani.

Lo Jacobiano associato alla trasformazione è

|J| = | det[-1 1 ; 0 1 ]| = 1

In definitiva l'integrale diventa:

iint_(E)ycos^2(y-x)dxdy = ∫_(0)^((π)/(2))∫_(-(π)/(2))^((π)/(2)) vcos^2(u) du dv = (π^3)/(16)

Da notare che il dominio di integrazione originale è un parallelogramma. È la parte di piano cartesiano limitata dalle rette di equazione

x-y = (π)/(2) ; x-y = -(π)/(2) ; y = 0 ; y = (π)/(2)

Per la rappresentazione grafica puoi usare come approssimazione di (π)/(2) il valore 3.14/2 = 1. 07 (ma solo per capire dove mettere il valore di (π)/(2), nei conti dell'integrale devi lasciare (π)/(2) ).


In riferimento al tuo tentativo di svolgimento...

Una nota positiva è che il tuo procedimento (a meno di errori latex) va bene. Vedi l'insieme di integrazione normale rispetto ad y cosicché l'integrale si scrive come:

∫_(0)^((π)/(2))∫_(y-(π)/(2))^(y+(π)/(2)) ycos^2(y-x)dx dy

Procedi risolvendo l'integrale più interno, rispetto ad x:

∫_(y-(π)/(2))^(y+(π)/(2)) ycos^2(y-x)dx = (π)/(2) y

dopodiché integri rispetto ad y:

∫_(0)^((π)/(2))∫_(y-(π)/(2))^(y+(π)/(2)) ycos^2(y-x)dx (= (π)/(2) y)dy =

∫_(0)^((π)/(2)) (π)/(2) y dy = (π^3)/(16)

Avrai commesso errori nei passaggi intermedi.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, AmberRise90

Integrale doppio, dominio di integrazione con modulo #56711

avt
AmberRise90
Punto
Questo mi solleva molto, grazie!
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Os