Calcolo di un integrale per la lunghezza di una curva

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Calcolo di un integrale per la lunghezza di una curva #56434

avt
fabiuzz91
Punto
Ciao a tutti, avrei difficoltà con l'integrale per il calcolo della lunghezza di una curva. L'esercizio dice: calcola la lunghezza del grafico di y=\sqrt{x} con x \in \left\{0,1\right\}

Applicando la formula trovo:

\int_{0}^{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{4x}}dx}

A questo punto non so proprio come andare avanti per ottenere qualcosa di simile al risultato che deve essere \frac{1}{2}+\frac{1}{8}\sinh{(4)}

Ho provato parametrizzazioni varie ma non riesco proprio ad andare avanti, avete qualche suggerimento? Grazie in anticipo!
 
 

Calcolo di un integrale per la lunghezza di una curva #56487

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao fabiuzz91 emt

Attenzione a come scrivi il testo, in particolare con la scrittura x\in \left\{0, 1\right\} si intende che x può assumere due valori, 0 oppure 1. Probabilmente nel testo originale abbiamo un intervallo del tipo (0, 1).

L'integrale che proponi in effetti è corretto, ma di difficile soluzione, ci molti passaggi da fare. Personalmente cambierei approccio:

y= \sqrt{x}\mbox{ con }x\in (0, 1)

Nell'insieme dato la funzione radice quadrata è invertibile.

Potremo scrivere

x= y^2\mbox{ con } y\in (0, 1)

A questo punto parametrizziamo ponendo y= t:

\mathbf{r}(t)= \begin{cases}x(t)= t^2\\ y(t)= t\end{cases}\mbox{ con }t\in (0, 1)

Utilizziamo la formula della lunghezza delle curve date in forma parametrica:

\mathcal{L}= \int_{0}^{1}\sqrt{1+4 t^2}dt

Questo è un integrale che si risolve con le sostituzioni iperboliche, ponendo:

2 t= \sinh(s)\implies 2 dt=\cosh(s)ds

Gli estremi di integrazione cambieranno di conseguenza:

Se t= 0 allora \sinh(s)= 0\implies s=0

Se t=1 otterremo l'equazione in s \sinh(s)=2\implies s= \mbox{arcsinh}(2)

In definitiva l'integrale da risolvere diventa:

\int_{0}^{\mbox{arcsinh}(2)} \sqrt{1+ \sinh^2(s)}\cdot \frac{1}{2}\cosh(s)ds

Prova a risolverlo emt
Ringraziano: Galois, fabiuzz91
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Os