Principali parametrizzazioni di curve per integrali curvilinei

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Principali parametrizzazioni di curve per integrali curvilinei #56354

avt
Banana33
Punto
Salve emt qualcuno sarebbe così gentile da fornirmi un formulario con le parametrizzazioni delle principali curve geometriche per la risoluzione di integrali curvilinei e forme differenziali?

Mi riferisco a tutte quelle forme che si studiano nella risoluzione di integrali curvilinei come ad esempio circonferenze, ellissi, archi di circonferenze ecc...

Ringrazio anticipatamente emt
Ringraziano: Lord Vraxx
 
 

Principali parametrizzazioni di curve per integrali curvilinei #56429

avt
Omega
Amministratore
La domanda è molto pericolosa, perché non esiste una famiglia di curve universalmente riconosciute come curve più importanti. O meglio: si potrebbe parlare di insieme delle curve ricorrenti, però la frontiera di tale insieme è non è ben definita...

Per farla breve: una curva che sicuramente interesserebbe uno studente di Matematica potrebbe non riguardare il tuo esame. D'altra parte non posso ragionare secondo il principio "includi più curve possibili", perché sarebbe un lavoro senza fine.

Quello che posso fare sulla base della mia esperienza

1) Tranquillizzarti dicendoti che nel caso di curve particolarissime, sarà la stessa traccia a fornirti la parametrizzazione necessaria.

2) Dirti che non è possibile trovare una parametrizzazione per qualsiasi curva piana, e dirti al contempo che i professori sono consapevoli di quello che fanno. In certi casi vengono assegnati esercizi in cui bisogna trovare una parametrizzazione per la curva sul momento (la ricerca è parte integrante dell'esercizio).

3) Invitarti a fare mente locale e a ricordare quali curve sono state presentate a lezione o in sede di esercitazione. Saranno osservati speciali. emt

4) Portare a termine il mio compito. Esistono certamente delle curve ricorrenti per le quali la parametrizzazione è nota, stra-nota e va saputa. Sono poche e richiedono le parametrizzazioni usate per i principali cambiamenti di coordinate.

Nel caso del piano

A] Circonferenza di centro C=(x_C,y_C) e raggio R

\begin{cases}x=x_C+R\cos{(\theta)}\\ y=y_C+R\sin{(\theta)}\end{cases}

con \theta\in \left[0,2\pi\right)

B] Ellisse di centro C=(x_C,y_C) e semiassi a,b

\begin{cases}x=x_C+a\cos{(\theta)}\\ y=y_C+b\sin{(\theta)}\end{cases}

con \theta\in \left[0,2\pi\right).


Ora potrei proseguire con un elenco lunghissimo, e citare ad esempio...

C] l'Astroide con centro C=(x_C,y_C) e semiasse c (distanza del centro da uno spigolo)

\begin{cases}x=x_C+c\cos^3{(\theta)}\\ y=y_C+c\sin^3{(\theta)}\end{cases}

con \theta\in \left[0,2\pi\right).

D] La Cardioide con raccordo nell'origine

\begin{cases}x = a \cos(\theta)[1 + \cos(\theta)]\\ y = a \sin(\theta)[1 +\cos(\theta)]\end{cases}

con \theta\in \left[0,2\pi\right).

...e tante altre curve nel piano, oppure nello spazio

E] l'elica con asse verticale per l'origine degli assi, di raggio R e passo c (minima distanza tra due punti dell'elica sulla medesima retta verticale)

\begin{cases}x = R \cos(2\pi t)\\ y = R\sin{(2\pi t)}\\ z=ct\end{cases}

ma il punto è che non è necessario. emt

Tenendo ben presente ciò che ho detto al punto 3), nel caso di curve mai sentite sarà il professore a darti le parametrizzazioni necessarie.

Tenendo a mente il punto 2) ricorda, che se sarai tu a dover ricavare una parametrizzazione dall'equazione, non sarà difficile farlo. Vogliamo ricavare ad esempio la parametrizzazione per l'arco di parabola di equazione y=4x^2 per x\in [0,2] ?

Pongo t=x e ricavo per sostituzione y(t)=4t^2, ergo una parametrizzazione è data da

p(t)=(t,t^2)\mbox{ con }t\in [0,2]


In ogni caso ricordati anche che, se disponi di una parametrizzazione di una curva, per ricavarne una per una parte della curva ti basterà restringere opportunamente l'intervallo su cui è definita la parametrizzazione. Esempio: circonferenza - arco.


Edit: a proposito, potrebbero interessarti emt

- integrali di linea di prima specie
- integrali di linea di seconda specie
- forme differenziali
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, Ludacris, AmberRise90, ViolettaToto, ste2394, mece, FlashNoob98
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Os