Matrice Jacobiana della funzione composta

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Matrice Jacobiana della funzione composta #55585

avt
Goblin
Cerchio
Ciao! Devo calcolare la derivata matrice Jacobiana della seguente funzione:  F=g \circ f , dove

f(x,y)=(x,xy)

g(x,y)=(xe^{y},ye^{x})

con due metodi, il primo è fare la composizione e derivarla e l'altro è usare la formula di derivazione.

[Edit - Omega] Metto il tentativo in spoiler. Purtroppo è tutto sbagliato e potrebbe essere molto fuorviante per i lettori del topic.

Qui dobbiamo calcolare la matrice Jacobiana della funzione composta, di conseguenza modifico il titolo. [/Edit]

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo

Grazie!
 
 

Matrice Jacobiana della funzione composta #55609

avt
Omega
Amministratore
Ciao Goblin, attenzione perché la parola "derivata" nel contesto delle funzioni a più variabili non ha alcun significato. Leggendoti ho notato lacune importanti che è il caso di colmare prima di subito... emt

Qui abbiamo funzioni a valori vettoriali, dunque l'equivalente della derivata è la matrice Jacobiana, definita come segue

f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\ f(x_1,...,x_n)=(f_1(x_1,...,x_n),f_2(x_1,...,x_n),...,f_m(x_1,...,x_n))

ha matrice Jacobiana

J_f=\left[\begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & ... & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}  \end{matrix}\right]

L'esercizio ci chiede di calcolare la matrice Jacobiana della funzione composta

J_h=g\circ f(x,y)

dove f,g,h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 sono funzioni a due variabili e a valori vettoriali, e ci chiede di farlo in due modi:

1) per calcolo diretto della Jacobiana della funzione h(x,y), dopo averne determinato un'espressione esplicita;

2) mediante il teorema di derivazione per funzioni a più variabili e a valori vettoriali variabili.


METODO 1)

Per determinare l'espressione della funzione composta h=g\circ f conviene riscrivere le due funzioni specificando nomi diversi per le variabili:

f:(x,y)\to (z,w)=(x,xy)

g:(z,w)\to (u,v)=(ze^w,we^z)

La funzione composta h(x,y)=g\circ f(x,y) si ricava valutando la funzione g sulle immagini della funzione f. Si ragiona in modo del tutto analogo rispetto al calcolo delle funzione composta in una variabile.

h(x,y)=(xe^{xy},xye^x)

Nota che h(x,y) è un vettore e ha come componenti delle funzioni a valori scalari: h_1(x,y)=xe^{xy} e h_2(x,y)=xye^{x}

A questo punto devi calcolare la matrice Jacobiana

J_h=\left[\begin{matrix} \frac{\partial h_1}{\partial x} & \frac{\partial h_1}{\partial y} \\ \frac{\partial h_2}{\partial x} & \frac{\partial h_2}{\partial y} \end{matrix}\right]

ossia

J_h=\left[\begin{matrix} e^{xy}+xye^{xy} & x^2e^{xy} \\ ye^x+xye^x & xe^x \end{matrix}\right]


METODO 2)

Il teorema per lo Jacobiano della matrice composta stabilisce che

J_h(x,y)=J_g(f_1(x,y),f_2(x,y))J_f(x,y)

nota che J_g(f_1(x,y),f_2(x,y)) indica lo Jacobiano della funzione g valutato nell'immagine della funzione f. Procediamo

J_g(z,w)=\left[\begin{matrix} e^w & ze^w \\ we^z & e^z \end{matrix}\right]

quindi

J_g(f_1(x,y),f_2(x,y))=J_g(x,xy)=\left[\begin{matrix} e^{xy} & xe^{xy} \\ xye^x & e^x \end{matrix}\right]

poi

J_f(x,y)=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ y & x \end{matrix}\right]

Non ti resta che calcolare il prodotto tra matrici

J_h(x,y)=J_g(f_1(x,y),f_2(x,y))J_f(x,y)=\left[\begin{matrix} e^{xy} & xe^{xy} \\ xye^x & e^x \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ y & x \end{matrix}\right]

e vedere che il risultato coincide con quello atteso.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, Goblin, Sowl

Matrice Jacobiana della funzione composta #55613

avt
Goblin
Cerchio
ti ringrazio, non so perché ma, invece della matrice da te scritta, consideravo la simmetrica, e di conseguenza, facendo poi il prodotto tra matrici non mi uscivano uguali !
Spiegazione perfetta ! Ti ringrazio !emt emt emt
Ringraziano: Omega
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Os