Problema nel calcolo della lunghezza di una curva parametrizzata

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Problema nel calcolo della lunghezza di una curva parametrizzata #55538

avt
paolaeale
Punto
Ciao a tutti, sono nuova su questo forum ma spero che qualcuno possa aiutarmi a sciogliere un dubbio riguardo il seguente esercizio:
Calcolare la lunghezza della curva parametrizzata da:

\gamma(t)=\left (\frac{1}{4}\cos{\left(2t\right)}, \cos^{3}{\left(t\right)},\sin^{3}\left(t\right)}\right)\mbox{ con }t \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

prima di procedere con lo svolgimento ho pensato che fosse più comodo trasformare

\cos{\left(2t\right)} \mbox{ in } 2\cos^{2}{\left(t\right)}-1

utilizzando la formula di duplicazione. Poi ho calcolato l'integrale tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} della norma del vettore avente come componenti le derivate delle componenti di gamma, da cui risulta:

L= \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(t\right)}\sin^{2}{\left(t\right)}\left(1+3\left(\sin^{2}{\left(t\right)}+\cos^{2}{\left(t\right)}\right)\right)}\right)dt}

=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left(2*\cos{\left(t\right)\sin{\left(t\right)}}\right)dt}

da cui svolgendo per parti e valutando il risultato negli estremi di integrazione trovo che la lunghezza è 0. E' possibile questa cosa oppure ho sbagliato qualcosa?
GRAZIE MILLE!
 
 

Problema nel calcolo della lunghezza di una curva parametrizzata #55545

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao PaoloeAle, benvenuto su YouMath emt

Il procedimento per il calcolo della lunghezza di una curva va benissimo! emt

Hai applicato correttamente le formule di duplicazione. emt

Il vettore ottenuto derivando rispetto a t ciascuna componete di \gamma(t) è:

\gamma'(t)= (-\cos(t)\sin(t), -3\cos^2(t)\sin(t), 3\cos(t)\sin^2(t))

La norma è

||\gamma'(t)||= \sqrt{\cos^2(t)\sin^2(t)+ 9\cos^4(t)\sin^2(t)+9\cos^2(t)\sin^{2}(t)}

Semplificando il semplificabile si arriva a:

||\gamma'(t)||= \sqrt{\frac{5}{2} (2\cos(t)\sin(t))^2}= \sqrt{\frac{5}{2}}\sqrt{\sin^2(2t)}

Attenzione ora, per definizione di valore assoluto potrai scrivere che

\sqrt{\sin^2(2t)}= |\sin(2t)|


(hai commesso uno degli errori più comuni in matematica)

Alla fine della fiera l'integrale da calcolare è:

L= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{5}{2}}|\sin(2t)|dt

La funzione integranda è pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico, possiamo scrivere:

L= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{5}{2}}|\sin(2t)|dt= 2\cdot \sqrt{\frac{5}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)dt=\sqrt{10}

Il valore assoluto sparisce perché nell'intervallo [0, \pi/2] la funzione \sin(2t) è non negativa emt

[mod]Quando scrivi le formule, inseriscile nei tags tex: la struttura da seguire è \left\{\mbox{tex}\right\}\mbox{formula}\left\{/\mbox{tex}\right\} [/mod]
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois

Re: Problema nel calcolo della lunghezza di una curva parametrizzata #56017

avt
paolaeale
Punto
Grazie mille e scusami per il ritardo! Sei stato veramente d'aiuto!
Ringraziano: Ifrit
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Os