Estremi integrale doppio e area di una superficie piana

Ciao, nel mio ultimo esame era presente un problema sugli integrali doppi che non sono riuscito a risolvere a causa della scelta degli estremi di integrazione.

Chiedeva di calcolare la superficie di spazio delimitata dalle quattro parabole






Ho fatto il grafico e sono riuscito a disegnare la superficie in questione ma non riesco a impostare l'integrale doppio, in quanto non so fino a dove far variare x e y. Grazie

Ciao teuss77

Iniziamo col disegnare le nostre quattro parabole e col capire quale sia la regione di piano di cui dobbiamo trovare l'area:



Scriviamo algebricamente tale insieme (che chiamerò D)



Ai fini della richiesta dell'esercizio dobbiam calcolare:



Cerchiamo ora di capire dove deve variare e dove :

Manipolando molto velocemente l'insieme , dalle prime due disequazioni vien fuori:



e dalle ultime due:



Dividiamo la per e la per . Osserva che possiamo farlo senza problemi in quanto nell'insieme x e y son sicuramente diverse da zero.

Abbiamo quindi:





Optiamo quindi per un cambiamento di coordinate (click!) ponendo:



A te l'onere dei conti

la prima parte è tutto molto chiaro mentre nell'ultimo avrei bisogno di un ulteriore chiarimento se è possibile. Sostituendo come mi hai suggerito avrei u che varia da 1 a 3 e v da 1 a 2 ma a questo punto dx e dy come devo sostituirli? Non ho mai fatto una sostituzione se non in coordinate polari o ellittiche e in questo caso mi trovo in difficoltà. Grazie

Ciao a tutti
Vediamo insieme come procedere con la sostituzione. Abbiamo visto che:



è una sostituzione che rende accessibile questo integrale. Non ci rimane altro che determinare la Jacobiana associata alla funzione (attenzione, non è quella che serve per risolvere l'integrale)



da ciò segue che:



Il determinante è:



A questo punto dobbiamo ricordare una proprietà di cui gode la matrice Jacobiana che trovi nella lezione linkata da Galois, ma prima determiniamo e in funzione di u e v. Da sistema



segue che



Per la proprietà dello Jacobiano abbiamo che:



Grazie alla sostituzione proposta, l'integrale da calcolare diventa:



Prova a risolvere l'integrale da solo