Estremi integrale doppio e area di una superficie piana

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Estremi integrale doppio e area di una superficie piana #52841

avt
teus77
Punto
Ciao, nel mio ultimo esame era presente un problema sugli integrali doppi che non sono riuscito a risolvere a causa della scelta degli estremi di integrazione.

Chiedeva di calcolare la superficie di spazio delimitata dalle quattro parabole

y = x^2
y = 2x^2
x = y^2
x = 3y^2

Ho fatto il grafico e sono riuscito a disegnare la superficie in questione ma non riesco a impostare l'integrale doppio, in quanto non so fino a dove far variare x e y. Grazie

∫_(0)^(?)∫_(0)^(?)1 dy dx
 
 

Estremi integrale doppio e area di una superficie piana #52851

avt
Galois
Amministratore
Ciao teuss77 emt

Iniziamo col disegnare le nostre quattro parabole e col capire quale sia la regione di piano di cui dobbiamo trovare l'area:

intersezioni regione piano 4 parabole


Scriviamo algebricamente tale insieme (che chiamerò D)

D = (x,y)∈ R^2 | y ≥ x^2, y ≤ 2x^2, y^2 ≤ x, 3y^2 ≥ x

Ai fini della richiesta dell'esercizio dobbiam calcolare:

∫ ∫_(D) dxdy

Cerchiamo ora di capire dove deve variare x e dove y:

Manipolando molto velocemente l'insieme D, dalle prime due disequazioni vien fuori:

(1) x^2 ≤ y ≤ 2x^2

e dalle ultime due:

(2) y^2 ≤ x ≤ 3y^2

Dividiamo la (1) per x^2 e la (2) per y^2. Osserva che possiamo farlo senza problemi in quanto nell'insieme D x e y son sicuramente diverse da zero.

Abbiamo quindi:

(1) 1 ≤ (y)/(x^2) ≤ 2

(2) 1 ≤ (x)/(y^2) ≤ 3

Optiamo quindi per un cambiamento di coordinate (click!) ponendo:

u = (x)/(y^2) ; v = (y)/(x^2)

A te l'onere dei conti emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, teus77

Estremi integrale doppio e area di una superficie piana #52863

avt
teus77
Punto
la prima parte è tutto molto chiaro mentre nell'ultimo avrei bisogno di un ulteriore chiarimento se è possibile. Sostituendo come mi hai suggerito avrei u che varia da 1 a 3 e v da 1 a 2 ma a questo punto dx e dy come devo sostituirli? Non ho mai fatto una sostituzione se non in coordinate polari o ellittiche e in questo caso mi trovo in difficoltà. Grazie

Estremi integrale doppio e area di una superficie piana #52875

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao a tutti emt
Vediamo insieme come procedere con la sostituzione. Abbiamo visto che:

φ(x, y) = u(x,y) = (x)/(y^2) ; v(x,y) = (y)/(x^2)

è una sostituzione che rende accessibile questo integrale. Non ci rimane altro che determinare la Jacobiana associata alla funzione φ (attenzione, non è quella che serve per risolvere l'integrale)

J_(φ)(x,y) = [u_(x)(x,y) u_(y)(x,y) ; v _(x)(x,y) v_(y)(x,y)]

da ciò segue che:

J_(φ)(x,y) = [(1)/(y^2) -(2x)/(y^3) ;-(2 y)/(x^3) -(2x)/(y^3)]

Il determinante è:

det(J_(φ(x,y))) = -(2(x^4+y^2))/(x y^3)

A questo punto dobbiamo ricordare una proprietà di cui gode la matrice Jacobiana che trovi nella lezione linkata da Galois, ma prima determiniamo x e y in funzione di u e v. Da sistema

u = (x)/(y^2) ; v = (y)/(x^2)

segue che

x(u, v) = (1)/([3]√(u)[3]√(v^2)), , , y(u, v) = (1)/([3]√(u^2) [3]√(v))

Per la proprietà dello Jacobiano abbiamo che:

det(J_(φ^(-1)) (u, v)) = (1)/(det(J_(φ(x(u, v), y(u, v))))) = -(1)/((2(1+v^2))/(u v))

Grazie alla sostituzione proposta, l'integrale da calcolare diventa:

∫_(1)^(3)∫_(1)^(2)|det(J_(φ^(-1)(u,b)))|dv du = ∫_(1)^(3)∫_(1)^(2)(u v)/(2 (1+v^2))dv du = ln(5)-ln(2)

Prova a risolvere l'integrale da solo emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, teus77
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Os