Massimi e minimi assoluti vincolati da una disequazione

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Massimi e minimi assoluti vincolati da una disequazione #52658

avt
PasqualeAK
Cerchio
Salve a tutti,oggi vorrei chiedervi se possibile un aiutino sul seguente esercizio di massimi e minimi vincolati in cui il vincolo è espresso da una disequazione.

Determinare massimi e minimi assoluti della funzione:

f\left(x,y\right)=e^{xy}+xy


su K=\{\left(x,y\right)R^{2}: x^{2}+2y^{2}\leq 1\}

per risolverlo avevo pensato di usare i moltiplicatori di lagrange anche perchè il vincolo si può esprimere come luogo di zeri di una funzione,ora il problema è che non riesco a risolvere il sistema; quindi vorrei chiedervi se si può usare tale metodo anche con funzioni come quella che ho proposto, se si può usare potete aiutarmi a risolvere il sistema?se non si può usare come dovrei procedere?

Grazie!
 
 

Re: Massimi e minimi assoluti vincolati da una disequazione #52669

avt
Galois
Amministratore
Ciao PasqualeAK emt

Siamo di fronte ad un problema di massimi e minimi vincolati (click!)

Osserviamo innanzitutto che l'insieme K è un compatto (esso infatti è formato dai punti interni e dalla frontiera dell'ellisse x^2+2y^2=1) e la funzione f(x,y)=e^{xy}+xy è continua, quindi siam sicuri, per il teorema di Weirstrass dell'esistenza dei punti di massimo e di minimo assoluti.

Fatta questa premessa iniziamo con lo studio dei punti interni all'insieme, andando a trovare i punti in cui si annulla il gradiente della nostra funzione

\left\{ \begin{matrix} f_{x}(x,y)=y(e^{xy}+1) \\ f_{y}(x,y)=x(e^{xy}+1) \end{matrix}

che ci fornisce l'unico punto stazionario (che appartiene all'insieme) (0,0)

Calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine così da poter costruire l'Hessiana:

\\ f_{xx}(x,y)=e^{x y}y^2\\ \\ f_{x y}(x,y)=f_{y x}(x,y)=1+e^{x y}+e^{x y}x y\\ \\ f_{y y}(x,y)=e^{x y}x^2

Valutiamo le funzioni nel punto stazionario:

f_{x x}(0,0)=0\ \ \ ; \ \ \ f_{x y}(0,0)=f_{y x}(0,0)=2 \ \ \ ; \ \ \ f_{yy}(x,y)=0

La matrice Hessiana associata alla funzione nel punto (0,0) è:

H_{f}(0,0)=\begin{pmatrix}0&2\\ 2&0\end{pmatrix}

Il determinante della matrice Hessiana vale invece:

\mbox{det}(H_{f}(0,0))=-4<0

Poiché l'Hessiano è un numero negativo allora il punto stazionario è un punto di sella.

Passiamo ora allo studio sulla frontiera, ricorrendo al metodo dei Moltiplicatori di Lagrange

\mathcal{L}(x,y, \lambda) = e^{xy}+xy - \lambda(x^2+2y^2-1)

Ed impostiamo il sistema:

\left\{ \begin{matrix} ye^{xy}+y-2\lambda x =0\\ xe^{xy}+x-4\lambda y =0 \\ -x^2-2y^2+1=0 \end{matrix}

ovvero

\left\{ \begin{matrix} y(e^{xy}+1)=2\lambda x \\ x(e^{xy}+1)=4\lambda y \\ x^2+2y^2-1=0 \end{matrix}

Supponiamo che y \neq 0 e dalla prima equazione troviamo:

e^{xy}+1=\frac{2 \lambda x}{y}

che sostituito nella seconda ci da:

\frac{2 \lambda x^2}{y}=4 \lambda y

2 x^2 = 4 y^2

2 (2y^2 - x^2)=0 (*)

da cui:

x^2=2y^2

che sostituito nella terza equazione ci da:

2x^2-1=0

ovvero

x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Sostituendo in (*) abbiamo:

y=\pm \frac{1}{2}

e quindi i punti:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \  \frac{1}{2} \right)

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \  -\frac{1}{2} \right)

\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \  \frac{1}{2} \right)

\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \  -\frac{1}{2} \right)


Tutto questo a patto che sia y \neq 0. Se dovesse essere y=0 il sistema diventa:

\left \{ \begin{matrix} 2 \lambda x=0 \\ 2x=0 \\ x^2-1=0 \end{matrix}

da cui troviamo i punti (1,0) e (-1,0) e (0,0)

Ora a te il compito di valutare la funzione in tali punti ed individuare i punti di massimo e minimo assoluti emt

_________________

Volendo, possiamo parametrizzare l'ellisse in questo modo:

\left\{ \begin{matrix}x=\cos(\theta) \\ y=\frac{1}{2}\sin(\theta) \end{matrix}

con \theta \in [0, 2 \pi)

e sostituendo nella funzione diventa:

e^{\frac{1}{2} \cos(\theta) \sin(\theta)} + \frac{1}{2} \cos(\theta) \sin(\theta)

]che è una funzione in una sola variabile di cui studieremo la derivata prima rispetto a \theta

emt
Ringraziano: Pi Greco, PasqualeAK, CarFaby, agmath, TeQuila.

Re: Massimi e minimi assoluti vincolati da una disequazione #52670

avt
PasqualeAK
Cerchio
Tutto chiaro Galois, grazie emt
Ringraziano: Galois
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Os