Integrale doppio con dominio tra circonferenza e retta

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Integrale doppio con dominio tra circonferenza e retta #52148

avt
AnimeLover93
Punto
Salve questa è la mia prima domanda (ufficiale) che faccio in questo sito e avrei bisogno di una mano con un integrale doppio da calcolare tra una retta e una circonferenza

Integrale doppio di [ 1 / (x^2+y^2-2x-1)^4 ]

con D = { x^2+y^2-2x <= 0 , x > 1-y }.

(Scusate se scrivo così l'esercizio, presto imparerò a scriverli meglio u.u').

Ora penso che il dominio sia una circonferenza di centro C=(1,0) e raggio 1 intersecato con la retta y=1-x, quindi pensavo di integrare (prima rispetto ad y) con 1-x <= y <= (1-x^2)^1/2, infine rispetto ad x con 0<=x<=2, solo che non riesco ad integrare questa f (lo so, ridicolo emt ).

Vorrei sapere se ho interpretato bene il dominio e successivamente perlomeno come iniziare l'esercizio... emt Grazie in anticipo.
 
 

Re: Integrale doppio con dominio tra circonferenza e retta #52152

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Animelovers93 emt

Io penso che tu abbia correttamente interpretato il dominio, ma non ti esprimi in modo corretto e questo è "grave" perché se non riesci a spiegarlo per bene il professore potrebbe impuntarsi.

Il dominio è la parte di piano limitata dalla circonferenza di centro C = (1, 0) e raggio 1 e che vive al di sopra della retta di equazione:

x+y-1 = 0


dominio_di_integrazione_cerchio_retta


Adesso parte il consiglio! Passa subito alle coordinate polari traslate

L'integrale dovrebbe semplificarsi notevolmente. Se hai bisogno di una mano chiedi pure emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, AnimeLover93, CarFaby

Re: Integrale doppio con dominio tra circonferenza e retta #52408

avt
AnimeLover93
Punto
Grazie, il dominio che intendevo era proprio quello!!! Comunque non sono una cima nel cambiamento di coordinate, perciò potresti farmi vedere (principalmente anche se ho letto il link che mi hai postato non capisco bene come si ricavi l'angolo emt )
grazie mille per la SUPER velocità e scusami se non ti ho risposto prima emt

Re: Integrale doppio con dominio tra circonferenza e retta #52416

avt
Ifrit
Amministratore
Non devi fare altro che porre

x = rcos(t)+1

y = r sin(t)

L'intervallo naturale in cui varia r è [0,+∞), mentre l'intervallo naturale di t è (-π, π)

Ora la disequazione

x^2+y^2-2x ≤ 0

si lascia esprimere come:

(x-1)^2+y^2 ≤ 1

Sostituendo ad x e y le espressioni che abbiamo scritto prima arriveremo a scrivere che:

r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t) ≤ 1 ⇔ r^2 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1

abbiamo quindi la prima condizione.

x > 1-y

diventa

rcos(t)+1 > 1-rsin(t)

da cui

rcos(t) > -rsin(t)

r(cos(t)+sin(t)) > 0 ⇔ cos(t)+sin(t) > 0

Risolvendo la disequazione otterrai l'insieme in cui varia t ovvero t∈(-π/4,3 π/4)

La funzione diventa invece:

f(rcos(t)+1, rsin(t)) = (1)/((r^2-2)^4)

Il differenziale dell'integrale doppio è noto.

dx dy = r dr dt

L'integrale diventa:

∫_(-(π)/(4))^((3)/(4)π)∫_(0)^(1)(r)/((r^2-2)^4)dr

L'integrale ora è praticamente fatto :)
Ringraziano: Pi Greco, AnimeLover93, CarFaby
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