Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica

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Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51840

avt
davide90
Punto
Mi sapreste dire come scrivere un problema di Cauchy che abbia un'unica soluzione?

Per esempio avevo l'equazione differenziale

y'-\frac{y}{x}=\frac{x}{2-x^2}

mi sono ricavato l'integrale generale.

y=\frac{x}{\sqrt{2}}\ln{(x+\sqrt{2}})-\frac{x}{\sqrt{2}}\ln{(x-\sqrt{2}})+xC

Adesso come faccio a impostare un problema di Cauchy che abbia una singola soluzione?

Grazie in anticipo per il vostro aiuto
 
 

Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51868

avt
kameor
Sfera
Ciao,

un problema di Cauchy è definito da una equazione differenziale e dalle sue condizioni iniziali.

Nel tuo caso quindi ti mancano proprio le condizioni iniziali della soluzione, ovvero devi imporre:

y(x_0) = a

dove a è un numero reale e rappresenta il valore che la soluzione assume per x = x_0.

Dunque per trovare la soluzione che soddisfa quella condizione ti basta sostituire y= a e x = x_0 nella soluzione generale e ricavare il valore di C.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, zamo10

Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51869

avt
davide90
Punto
Ma qualsiasi valore di x va bene per ottenere una soluzione unica?

Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51873

avt
kameor
Sfera
In generale no, dipende da dove è definita l'equazione.

Per esempio in questo caso non è definita per:

x = 0, \; x = \pm \sqrt{2}

e infatti se metti x_0 uguale a uno di quei tre valori lì non riesci a trovare la soluzione.

Per gli altri valori l'unicità della soluzione è garantita dal fatto che l'equazione differenziale è lineare.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51877

avt
davide90
Punto
Mentre per questo tipo di equazione cosa potrei mettere?

y'=\frac{x+3}{(x+1)(x-2)}\sqrt{y-1}

Re: Impostare un problema di Cauchy con soluzione unica #51970

avt
kameor
Sfera
Siccome questa volta non si tratta di un'equazione lineare, bisogna studiare l'unicità della soluzione verificando le ipotesi del teorema di unicità locale delle soluzioni di un PC.

In questo caso hai:

f(x,y) = \frac{x+3}{(x+1)(x-2)}\sqrt{y-1}

La derivata di f(x,y) rispetto a y è:

\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{x+3}{(x+1)(x-2)} \frac{1}{2\sqrt{y-1}}

questa è definita e ed è continua per:

x \neq -1, x \neq 2

y > 1

Il teorema fornisce una condizione sufficiente per l'unicità locale, quindi tutte le condizioni iniziali che soddisfano le relazioni che ho ricavato ammettono localmente un unica soluzione.

Tuttavia, non essendo necessaria, bisogna verificare manualmente l'unicità per gli altri punti. Esclusi i valori per cui l'equazione non è definita resta da verificare l'unicità sulla retta y = 1.

Questa si verifica facilmente che è la soluzione costante dell'equazione, per cui bisogna verificare se ci siano altre soluzioni che incontrano quella retta.

Procedi quindi col metodo di risoluzione classico per le equazioni differenziali a variabili separabili:

\\ \int \frac{1}{\sqrt{y-1}} dy = \int \frac{x+3}{(x+1)(x-2)}dx\\ \\ \\ 2\sqrt{y - 1} = \frac{5}{3}\ln(|x - 2|) - \frac{2}{3} \ln(|x + 1|) + C

sostituisci y = 1 e risolvi rispetto a C:

C = -\frac{5}{3} \ln(|x - 2|) + \frac{2}{3} \ln(|x + 1|)

per cui qualsiasi valore iniziale di x scelga (tra quelli ammissibili) riesco sempre a trovare un valore di C e di conseguenza ad individuare una soluzione non costante che passa dalla retta y = 1, per cui su di essa la soluzione non è mai unica.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, davide90
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Os