Equazione Differenziali - Soluzione equazione non omogenea

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Equazione Differenziali - Soluzione equazione non omogenea #51158

avt
Leo2805
Punto
Ciao a tutti,

Vi chiedo se è possibile alcuni chiarimenti su come trovare le soluzioni dell'equazione non omogenea

y''-2y'+4y = x

Parto dal risolvere e trovare la soluzione generale quindi trasformo la parte a sinistra in un'equazione algebrica di 2° grado

[λ ^2-2λ+4 = 0 ]

Calcolo il determinante e scopro che è minore di 0 quindi troverò una soluzione pari a

[e^x(c_1cos(√(3x))+c_2sin(√(3x))) ]

Adesso invece ragiono sulle soluzioni dell'equazione non omogenea ponendo y = ax

quindi l'equazione dovrebbe diventare

[-2a+4ax = x ]

Volevo sapere se fino a qua il ragionamento è giusto oppure ho già commesso degli errori.....

Ringrazio anticipatamente la disponibilità di tutti i geni matematici presenti sul forum che leggeranno il presente post!

Michele
 
 

Re: Equazione Differenziali - Soluzione equazione non omogenea #51167

avt
Galois
Amministratore
Ciao Leo2805 emt

Siamo di fronte ad un'equazione differenziale lineare, non omogenea, di secondo grado, a coefficienti costanti.

Se hai dubbi a riguardo ti consiglio la seguente lettura: Tipi di equazioni differenziali (click!)

Come hai ben fatto (trascuro quindi di scrivere i passaggi) troviamo una soluzione dell'omogenea associata.

A me vien fuori:

y_O(x) = e^x[c_1cos(√(3)x)+c_2sin(√(3)x)]

Attenzione che le x non stanno sotto radice! Penso però che il tuo errore sia solo di battitura.. quindi andiamo avanti emt

Procediamo col trovare una soluzione particolare della non omogenea.

Come fare? Applichiamo il Metodo di somiglianza (click!)

Nel nostro caso il termine noto g(x) è un polinomio di primo grado del tipo cioè g(x) = Q(x) e^(λ t), con λ = 0 (che non è soluzione dell'omogenea)

Attenzione qui! La soluzione particolare è del tipo:

bary(x) = Ax+B in quanto deve essere un polinomio di primo grado.. perché togliergli quindi il termine noto? emt

Arrivati a questo punto dobbiamo calcolare le derivate (fino all'ordine 2) di bary(x) = Ax+B ed andare a sostituirle nell'equazione di partenza, con l'intento di trovare la costante A
[è tutto spiegato nella lezione che ti ho linkato emt ]

Quindi:

bary'(x) = A

bary''(x) = 0

Sostituendo nell'equazione di partenza:

0-2A+4(Ax+B) = x

cioè:

4Ax+(4B-2A) = x

Imponendo uguali i coefficienti dei termini dello stesso grado abbiamo:

4A = 1 ; 4B-2A = 0

dopo due conticini:

A = (1)/(4) ; B = (1)/(8)

La soluzione della nostra equazione differenziale è quindi:

y(x) = y_O(x)+ bary(x) = e^x[c_1cos(√(3)x)+c_2sin(√(3)x)]+(x)/(4)+(1)/(8)

Bye emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Chabal

Re: Equazione Differenziali - Soluzione equazione non omogenea #51170

avt
Leo2805
Punto
Domani penso che faccio una bella stampata di tutte le lezioni di youmath e butto via il mio libro da 50 euro! emt Grazie mille sei stato molto gentile oltre ad essere geniale.

Analisi 1 l'ho adorata coltivata e piaciuta molto, analisi 2 la sto odiando ma tanto ma tanto che nemmeno ti immagini!!!

Grazie ancora!
Ringraziano: Omega, Galois

Re: Equazione Differenziali - Soluzione equazione non omogenea #51174

avt
Galois
Amministratore
Domani penso che faccio una bella stampata di tutte le lezioni di youmath e butto via il mio libro da 50 euro!


Non sia mai! I contenuti presenti su YouMath non devono essere sostitutivi di un libro o degli appunti presi a lezione.. Diciamo che sono solo un ottimo strumento per approfondire meglio e, nello scriverli, cerchiamo di non dare nulla per scontato anche perché pure noi, come tutti siamo o siamo stati studenti e abbiamo ben presente cosa vuol dire studiare come si deve certi argomenti emt

Le difficoltà che stai incontrando tu le abbiamo incontrate tutti e personalmente le incontro tutt'ora (emt) quindi non demoralizzarti e vai avanti per la tua strada ricordando che noi, in caso di dubbi siamo qui emt
Ringraziano: Pi Greco, DartFener
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Os