Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili

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Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48280

avt
Aldoman
Cerchio
Ciao Amici! Mi trovo a calcolare tale integrale doppio su un triangolo di vertici: (0,0), (2,0), (1,-1).

L'integrale è:

∫_(T)(ln(2x-y))dxdy

L'ho svolto nel seguente modo: ho posto l'argomento del logaritmo, uguale ad u, e v = 2x+y, quindi

u = 2x-y

v = 2x+y

poi ho calcolato

det(partial(u,v))/(partial (x,y)) = 4

e quindi:

det(partial(x,y))/(partial (u,v)) = [det(partial(u,v))/(partial (x,y))]^(-1) = (1)/(4)

Poi ho ricavato la x e la y, dalle due equazioni di partenza, per poi sostituire i valori di x e y nelle equazioni ed ottenere i vertici del nuovo triangolo, (che premetto non so rappresentare nel vostro sito), e poi non so come continuare! Potete gentilmente darmi una mano?

Grazie!
 
 

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48322

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Aldoman emt

Sarebbe opportuno che tu esprima il dominio di integrazione in modo diverso.

Scrivi le rette passanti per le coppie di punti A,B e B,C e A,C

r_(AB):y = 0

r_(BC): x-y = 2

r_(CA): x+y = 0

Il dominio di integrazione si esprime quindi come:

T = (x,y) : x-y ≤ 2, x+y ≥ 0, y ≤ 0

A questo punto la sostituzione proposta è:

x-y = u

e

x+y = v

Da cui segue che:

x = (u+v)/(2)

y = (v-u)/(2)

In questo modo il triangolo si trasforma in:

T'= (u, v) : u ≤ 2, v ≥ 0, v-u ≤ 0

A questo punto nota che l'argomento del logaritmo diventa:

2x-y = 2(u+v)/(2)-(v-u)/(2) = (1)/(2)(3 u+v)

In questo modo credo che l'integrale si possa risolvere (devi determinare lo Jacobiano associato).

Prova e fammi sapere emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman, CarFaby

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48329

avt
Aldoman
Cerchio
emt
Ciao Ifrit!
Sembra che hai interpretato male il valore di x, perchè a me esce
(u+v)/(4)
poi non capisco,l'interpretazione della trasformazione del triangolo, e poi come hai fatto per scrivere l'argomento del logaritmo in termini di u e v.
Grazie!

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48340

avt
Ifrit
Amministratore
So che è difficile, anche perché è necessario avere occhio.


Ad ogni modo dalla posizione:

x-y = u ; x+y = v

possiamo isolare x nella prima equazione:

x = u+y ; x+y = v

sostituire nella seconda:

x = u+y ; u+y+y = v

Determinare y

x = u+y ; y = (v-u)/(2)

Sostituire nella prima equazione il valore di y trovato:


x = u+(v-u)/(2) ; y = (v-u)/(2)


x = (2 u+v-u)/(2) ; y = (v-u)/(2)

x = (u+v)/(2) ; y = (v-u)/(2)

Abbiamo scritto le variabili x e y in funzione delle variabili u, v.

L'argomento del logaritmo è:

2x-y = 2·(u+v)/(2)-(v-u)/(2) = (1)/(2)(3 u+v)

Per quanto riguarda il triangolo, cosa c'è che non va? Non riesci ad esprimerlo in funzione di u e v?
Ringraziano: Omega, Aldoman, CarFaby

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48342

avt
Aldoman
Cerchio
Scusami di nuovo!
Ma le equazioni, che poi abbiamo trasformato, non provengono dall'argomento del logaritmo?
Oppure sono sostituzioni standard?
Grazie!

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48357

avt
Ifrit
Amministratore
Le sostituzioni che ho determinato derivano dal dominio. Il problema non è l'argomento del logaritmo, il problema è il dominio. Devi fare in modo che sia normale a qualche asse, ed infatti grazie alla trasformazione seguita il dominio diventa:


dominio_integrazione_ifrit_2013 02 13


e come puoi vedere il triangolo ha i lati normali sia rispetto ad X che rispetto ad Y.

Ad ogni modo lo Jacobiano associato alla trasformazione è

|J| = | (1)/(2) (1)/(2) ;-(1)/(2) (1)/(2) | = (1)/(4)+(1)/(4) = (1)/(2)

In questo modo l'integrale diventa:

∫_(0)^(2)∫_(v)^(2)(1)/(2)ln((1)/(2)(3u+v))du dv

I conti sono un po' lunghi a dire il vero :(
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48506

avt
Aldoman
Cerchio
emt
Ho determinato le rette passanti per i punti e mi trovo!
Il problema sorge nel momento in cui devo esprimere il dominio, perchè non sò come fare!
E in seguito la decisione sulla sostituzione da effettuare!
Gentilmente puoi aiutarmi?
Grazie!

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48518

avt
Ifrit
Amministratore
Una volta che hai disegnato il dominio di integrazione "hai praticamente finito". Da esso riuscirai a determinare i vincoli da dare alle variabili u e v emt Di cosa hai bisogno? Di pratica! emt
Se fai una veloce ricerca su youmath, troverai moltissime discussioni che hanno per argomento proprio quello che chiedi tu. Utilizza la barra di ricerca, ti sarà certamente d'aiuto emt

Facciamo così, lascia per ora questo esercizio, e svolgi quelli che trovi su youmath, almeno 5 al giorno per tre giorni, dopodiché leggi le soluzioni proposte, fatto questo, passati i 3 giorni, se hai ancora problemi con questo esercizio ne riparliamo emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48927

avt
Aldoman
Cerchio
emt
Sò che non farà piacere, risentirmi, volevo ringraziarvi per avermi rimandato agli esercizi della vostra bacheca.
Ma ho un problema con il segnale, e non riesco a caricarli.
Gentilmente qualcuno può darmi delle spiegazioni veloci?
Perchè per calcolare il dominio della funzione, ho posto l'argomento del logaritmo come: 2x-y>0, e poi non sò perchè a voi escono maggiore o uguale e minore o uguale.
In fine come decidere le quantità da porre come u e v.
Grazie! Scusatemi di tutto il disturbo!

Re: Integrale doppio su un triangolo per cambiamento di variabili #48945

avt
Ifrit
Amministratore
Lol, il mio non era un consiglio spassionato, non volevo essere rude. Pochissimi hanno capito che YouMath è un contenitore di esercizi svolti. Alcuni, invece di esercitarsi sui problemi già svolti, continuano a postare domande di cui abbiamo già discusso in passato emt

Ad ogni modo, puoi notare dal disegno che la variabile u varia tra 0 e 2. Adesso fissa un u_0∈ [0,2] e traccia per esso una linea verticale (parallela all'asse su cui vivono le v).


triangolo_integrazione_ifrit


Dal grafico capirai che

v∈ (0, u_0)

In definitiva, puoi scrivere l'integrale come:

∫_(0)^(2)∫_(0)^(u)(1)/(2)ln((1)/(2)(3u+v))dv du

Ripeto, il problema è di solo calcolo, perché davvero molto lungo. Non ti nascondo il fatto che magari ci sono strade più veloci, ma non mi vengono in questo momento emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Aldoman, CarFaby
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