Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale

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Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale #48123

avt
escher
Cerchio
Salve a tutti, sto iniziando ora ad esercitarmi su queste equazioni differenziali. Il punto è che non riesco a capire cosa devo fare alla fine per trovare la costante arbitraria, e quindi come usare la condizione iniziale del problema di Cauchy.

Ho questo banale problema di Cauchy:

y'= y^(2/3)

y(0) = 1

Divise le variabili e risolti gli integrali mi viene:

3[3]√(y) = t+C

Ora cosa devo fare? Cosa vuol dire terra-terra y(0) = 1? Quando/dove devo sostituirlo quell'1?

Scusate le tante domande, grazie delle eventuali risposte.
 
 

Re: Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale #48131

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao escher emt

Facendo un discorso un po' terra-terra, una equazione differenziale ha per soluzione una famiglia di funzioni dipendenti da un parametro (o più parametri, dipende dall'ordine dell'equazione differenziale). La condizione iniziale serve a prendere una particolare funzione che, oltre a rispettare l'equazione differenziale, passa per il punto iniziale (t_0, y(t_0)) (sempre se viene rispettato il teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy)

Lavoriamo un po' sull'esempio che hai riportato. La condizione y(0) = 1 ti dice:

"Caro escher, di tutte le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale devi prendere quella che passa per il punto (t_0, y_0) = (0, 1)"

Hai determinato che la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale, realizza l'uguaglianza:

3[3]√(y) = t+C

Rimane da determinare univocamente la funzione e per farlo imponiamo:

y = 1 e t = 0

Sostituendo avrai che:

C = 3

e dunque


3[3]√(y) = t+3

Adesso risolvi l'equazione rispetto alla variabile y:

[3]√(y) = (t+3)/(3)

y(t) = ((t+3)^3)/(27)

La funzione trovata soddisfa l'equazione differenziale e passa per il punto (0,1)

Infatti:

y(0) = (27)/(27) = 1

Ci sei?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, escher, jakipico, kelia, Orchidea-2001

Re: Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale #48194

avt
escher
Cerchio
Grazie della spiegazione. Ho ancora un dubbio:
se al posto di y(0) = 1 avessi avuto:
y(1) = +(7)/(8), il punto sarebbe stato: (1,+(7)/(8)).

Grazie ancora emt

Re: Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale #48215

avt
Omega
Amministratore
Ciao,

sì. Parlando in generale ad una condizione iniziale del tipo y(x_0) = y_0 corrisponde (x_0,y_0).
Ringraziano: escher

Re: Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale #48235

avt
escher
Cerchio
Si ho fatto molti esercizi a variabili separabili e vengono tutti (per ora) emt

Grazie ancora, davvero emt
Ringraziano: Omega
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Os