Come usare la condizione iniziale in un'equazione differenziale

Salve a tutti, sto iniziando ora ad esercitarmi su queste equazioni differenziali. Il punto è che non riesco a capire cosa devo fare alla fine per trovare la costante arbitraria, e quindi come usare la condizione iniziale del problema di Cauchy.

Ho questo banale problema di Cauchy:





Divise le variabili e risolti gli integrali mi viene:



Ora cosa devo fare? Cosa vuol dire terra-terra ? Quando/dove devo sostituirlo quell'1?

Scusate le tante domande, grazie delle eventuali risposte.

Ciao escher

Facendo un discorso un po' terra-terra, una equazione differenziale ha per soluzione una famiglia di funzioni dipendenti da un parametro (o più parametri, dipende dall'ordine dell'equazione differenziale). La condizione iniziale serve a prendere una particolare funzione che, oltre a rispettare l'equazione differenziale, passa per il punto iniziale (sempre se viene rispettato il teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy)

Lavoriamo un po' sull'esempio che hai riportato. La condizione ti dice:

"Caro escher, di tutte le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale devi prendere quella che passa per il punto "

Hai determinato che la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale, realizza l'uguaglianza:



Rimane da determinare univocamente la funzione e per farlo imponiamo:

e

Sostituendo avrai che:



e dunque




Adesso risolvi l'equazione rispetto alla variabile y:





La funzione trovata soddisfa l'equazione differenziale e passa per il punto

Infatti:



Ci sei?

Grazie della spiegazione. Ho ancora un dubbio:
se al posto di avessi avuto:
, il punto sarebbe stato: .

Grazie ancora

Ciao,

sì. Parlando in generale ad una condizione iniziale del tipo corrisponde .

Si ho fatto molti esercizi a variabili separabili e vengono tutti (per ora)

Grazie ancora, davvero