Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica

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Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica #47902

avt
Regulus
Cerchio
Salve a tutti! Vorrei di nuovo confrontarmi con voi su un esercizio sull'unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy. Spero di non essere troppo lungo, ma vorrei essere il più chiaro possibile. La traccia dice:

I seguenti problemi di Cauchy:

\left \{\begin{array}{l}y'=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}\\ y(1)=- \frac{1}{2}\\ \end{array}\right.

\left \{ \begin{array}{l} y'=\frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}\\ y(-1)=- \frac{1}{2}\\ \end{array} \right.

ammettono soluzione unica. Perché? (Giustificare la risposta). Successivamente, risolvere tali problemi e specificare l'insieme di definizione della soluzione.

Il ragionamento che ho seguito è questo: volendo applicare il Teorema di Esistenza e Unicità Locale di Cauchy, dovrei verificare che la funzione

f(x,y) = \frac{\sqrt{1-y^{2}}}{x}

sia continua e lipschitziana in un intorno del punto \left(x_{0},y_{0}\right) (o che abbia derivata parziale rispetto a y continua in questo intorno, secondo il corollario).

Poiché il dominio di f(x,y) mi sembra essere tutti i punti tali che y \le |1| e la derivata parziale rispetto a y è

f_{y}(x,y) = - \frac{y}{x \sqrt{1-y^{2}}}

le ipotesi mi sembrano soddisfatte sia nel punto \left(1,- \frac{1}{2}\right) che nel punto \left(-1,- \frac{1}{2}\right).

Andando a risolvere le equazioni (che sono a variabili separabili), ho come soluzione:

y(x) = sen(\ln{x}+c)

che ovviamente è definita solo per x > 0. Quindi, non posso applicare la condizione y(-1) = - \frac{1}{2}! Dove ho sbagliato?
 
 

Re: Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica #47985

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Regulus.

L'equazione differenziale che interviene è a variabili separabili, cioè si presenta nella forma:

f(x,y)= a(x) b(y)

dove

a(x)= \frac{1}{x} che è una funzione continua e derivabile nell'insieme:

\mbox{dom}(a)= (-\infty,0)\cup(0,+\infty)

mentre:

b(y)=\sqrt{1-y^2} è una funzione continua in [-1,1] e derivabile con derivata continua in (-1,1).

Ricorda che la soluzione di una equazione differenziale ha per dominio un intervallo contenuto nel dominio della funzione a(x).

Il dominio a(x) è unione di due intervalli e sono:

I_1= (-\infty, 0)

I_2= (0,+\infty)


Le soluzioni costanti della equazione differenziale sono:

y(x)= 1 che non soddisfa le condizioni iniziali e

y(x)=-1 e nemmeno questa soddisfa le condizioni iniziali.


Per y diverso da -1 e 1, possiamo separare le variabili:

\int\frac{y'(x)}{\sqrt{1-[y(x)]^2}}dx= \int\frac{1}{x}dx


Otterremo:

\arcsin(y(x))= \ln|x|+c

Poni attenzione al valore assoluto! emt

Ora in base alle condizioni iniziali, sceglieremo se lavorare nell'intervallo I_1 o nell'intervallo I_2

Lavoriamo con la condizione iniziale:

(x_0,y_0)= \left(-1,-\frac{1}{2}\right)

Poiché x_0= -1 allora lavoreremo nell'insieme I_{1}= (-\infty, 0), in un sottoinsieme di questo intervallo varierà la nostra variabile x, mentre la nostra y varierà in (-1,1). Torniamo a studiare l'equazione


\arcsin(y(x))= \ln|x|+c

Poiché x<0 allora per definizione di valore assoluto, l'equazione diventa:

\arcsin(y(x))= \ln(-x)+c

Impostiamo la condizione iniziale così da determinare la costante c:

\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)= \ln(-(-1))+c\iff c= -\frac{\pi}{6}

Quindi:

\arcsin(y(x))= \ln(-x)-\frac{\pi}{6}

Affinché l'equazione sia coerente dobbiamo richiedere che:

\ln(-x)-\frac{\pi}{6}\in\mbox{Im}_{\arcsin(y)}(-1,1)

Si sa che:

\mbox{Im}_{\arcsin(y)}(-1,1)= \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Quindi:

\ln(-x)-\frac{\pi}{6}\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

e questa è equivalente alla catena di disequazioni:

-\frac{\pi}{2}<\ln(-x)-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}

Risolvendola otterrai:

\mbox{dom}(y(x))= \left(-e^{\frac{2}{3}\pi}, -e^{-\frac{\pi}{3}}\right)


che è il dominio della funzione soluzione. Esplicitiamo la funzione soluzione applicando membro a membro la funzione seno:

y(x)= \sin\left(\ln(-x)-\frac{\pi}{6}\right)


==============

Modificando in modo opportuno i ragionamenti precedenti puoi trovare la soluzione anche per \left(1,-\frac{1}{2}\right). L'unica parte in cui devi stare attento è che l'equazione

\arcsin(y(x))=\ln|x|+c

diventerà:

\arcsin(y(x))= \ln(x)+c

perché lavoriamo in I_2=(0,+\infty) e quindi x>0.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Regulus, julissa, yesmon

Re: Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica #48165

avt
Regulus
Cerchio
Ciao Ifrit, grazie mille per la risposta, sei stato molto chiaro. Credo che il mio errore fosse nel fatto che non tenevo conto del valore assoluto! Per quanto riguarda il ragionamento che ho fatto sul teorema di Cauchy, è corretto?

Re: Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica #48167

avt
Ifrit
Amministratore
Sì, va bene emt Attenzione però che la funzione

f(x,y)= \frac{\sqrt{1-y^2}}{x}

è derivabile rispetto ad y se |y|<1 e non se |y|\le 1. Le radici hanno problemi di derivazione nei punti in cui si annulla il radicando.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Regulus, julissa

Re: Stabilire se un problema di Cauchy ammette una soluzione unica #48190

avt
Regulus
Cerchio
Sì, certo. D'altra parte questo viene fuori dall'espressione della derivata che ho scritto, che ha la radice al denominatore! Grazie ancora! emt
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Os