Ciao SaucyDrew
Dobbiamo utilizzare la definizione di
integrale di linea di prima specie.
Parametrizziamo in modo classico l'arco di
circonferenza di centro

e raggio 1, compreso tra le rette

e

.
L'equazione della circonferenza è:
Geometricamente abbiamo questa situazione:
Parametrizziamo in modo canonico, facendo ricorso alle
coordinate polari traslate
Sostituendo nella equazione della circonferenza otterremo r (anche se noi lo conosciamo già, è 1)
(dove il valore negativo va escluso). Quindi la parametrizzazione da adottare è:
Dal grafico possiamo determinare l'insieme in cui varia l'angolo:
![t∈ [0,π/2]](data:image/gif;base64,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)
, pertanto:
è la parametrizzazione dell'arco di circonferenza che ci interessa ed anche il verso va bene (al variare di

la circonferenza viene percorsa in
senso antiorario).
Calcoliamo la
derivata del vettore:
la cui
norma è:
L'integrale diventa:
Procediamo per sostituzione ponendo
Gli estremi di integrazioni diventano:
L'integrale diventa quindi:
![-∫_(0)^(1)-(1)/((1+s)^2)ds = [-(1)/(1+s)]_(0)^(1) = (1)/(2)](/images/joomlatex/b/4/b4bba548050d822e746fce44c1558f85.gif)