Integrale di linea su un arco di circonferenza

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Integrale di linea su un arco di circonferenza #47457

avt
SaucyDrew
Punto
Stavo rivedendo qualche esercizio sugli integrali di linea e tra quelli già fatti e velocemente liquidati c'era questo.

Nel primo quadrante sia α l'arco della circonferenza di centro (1,0) e raggio 1 compreso tra le rette y = x e y = 0 e percorso in senso antiorario. Calcolare

∫(y)/(x^2) ds


All'inizio avevo semplicemente sostituito x = rcos(t) e y = rsin(t), calcolato il ds che risultava uguale a rdt e integrato tra 0 e (π)/(2) ma riguardandolo noto che c'è qualcosa che non quadra.

Innanzitutto nella sostituzione x non sarebbe dovuto essere più propriamente 1+rcos(t)?

In secondo luogo ho provato a risolvere l'integrale con il calcolatore ma mi dice che non converge e da ciò ne deduco che probabilmente ho dato per scontato qualcosa.

Cosa c'è che non va?
Ringrazio in anticipo per le risposte!
 
 

Re: Integrale di linea su un arco di circonferenza #47468

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao SaucyDrew emt

Dobbiamo utilizzare la definizione di integrale di linea di prima specie.

Parametrizziamo in modo classico l'arco di circonferenza di centro (1,0) e raggio 1, compreso tra le rette y = x e y = 0.

L'equazione della circonferenza è:

(x-1)^2+y^2 = 1

Geometricamente abbiamo questa situazione:

arco_di_circonferenza_ifrit


Parametrizziamo in modo canonico, facendo ricorso alle coordinate polari traslate

x(t) = 1+rcos(t) ; y(t) = rsin(t)

Sostituendo nella equazione della circonferenza otterremo r (anche se noi lo conosciamo già, è 1)

(x(t)-1)^2+y^2(t) = 1 ⇔ r^2 = 1 ⇒ r = 1

(dove il valore negativo va escluso). Quindi la parametrizzazione da adottare è:

x(t) = 1+cos(t) ; y(t) = sin(t)

Dal grafico possiamo determinare l'insieme in cui varia l'angolo: t∈ [0,π/2], pertanto:

φ(t) = (1+cos(t), sin(t)) t∈ [0,(π)/(2)]

è la parametrizzazione dell'arco di circonferenza che ci interessa ed anche il verso va bene (al variare di t la circonferenza viene percorsa in senso antiorario).

Calcoliamo la derivata del vettore:

φ'(t) = (-sin(t),cos(t)) t∈ (0, (π)/(2))

la cui norma è:

||φ'(t)|| = √([x'(t)]^2+[y'(t)]^2) = √(sin^2(t)+cos^2(t)) = 1

L'integrale diventa:

∫_(0)^((π)/(2))(sin(t))/((1+cos(t))^2)dt =

Procediamo per sostituzione ponendo

s = cos(t) ⇒ ds = -sin(t)dt ⇒ sin(t)dt = -ds

Gli estremi di integrazioni diventano:

0 → cos(0) = 1

(π)/(2) → cos((π)/(2)) = 0

L'integrale diventa quindi:

∫_(1)^(0)(-1)/((1+s)^2)ds =

-∫_(0)^(1)-(1)/((1+s)^2)ds = [-(1)/(1+s)]_(0)^(1) = (1)/(2)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Leonard89, berghen, k88
  • Pagina:
  • 1
Os