Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali

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Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #47399

avt
MaryADC90
Frattale
Ciao ragazzi! Bene, oggi il mio problema riguarda i massimi ed i minimi vincolati, più precisamente non ho ben capito il metodo pratico per trovarli, né con il metodo di sostituzione nè con quello dei moltiplicatori di Lagrange.

Ho solo capito che si può usare il metodo di sostituzione nel caso in cui il vincolo si presenti in forma parametrica o comunque possa essere espresso mediante equazioni parametriche, il secondo invece quando il vincolo non sia esprimibile parametricamente.

A titolo di esempio, vorrei postare un esercizio che ho iniziato a svolgere ma non ho terminato per sopraggiunte difficoltà in corso d'opera:

Determinare i punti di minimo e massimo della funzione

f(x,y)=xy

con il vincolo

g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-1.


Nel tentativo di svolgere l'esercizio con il metodo dei moltiplicatori, ho fatto così:

L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)

Ho impostato il sistema (scrivo le equazioni una sotto l'altra perchè ancora non scopro il codice per mettere la parentesi graffa):

y+ \lambda 2x=0
x+ \lambda 8y=0
x^{2}+4y^{2}-1=0

Dalla prima equazione ricavo y=- \lambda2x e unendo questo risultato alla seconda equazione ottengo:

x+ \lambda8\left(- \lambda2x\right)=0

che semplificando diventa x\left(1-16 \lambda^{2}\right)=0.

x=0 corrisponde al punto di coordinate \left(x,y\right)=\left(0,0\right) che però non è soluzione della terza equazione, quindi va scartato.

Invece 1-16 \lambda^{2}=0 mi da come risultato  \lambda= \pm\frac{1}{4}.

A questo punto sostituisco lambda nell'espressione della y ottenendo

y= \pm\frac{1}{2}x

poi sostituisco la nuova y nella terza equazione ottenendo

x= \pm\frac{1}{\sqrt{2}}

(è corretto? Mi è venuto qualche dubbio!).

Di seguito dovrei sostituire la x trovata nella terza equazione ma qui mi sono incartata... nè so poi come dovrei procedere per capire se i punti critici trovati sono di minimo o massimo!

Mi aiutate? Sono in crisi, mi manca ancora un pò per finire il programma... emt
Ringraziano: FlashNoob98
 
 

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #47442

avt
Galois
Amministratore
Ciao MaryADC90 emt

Finché si parla dei massimi e minimi liberi in due variabili, il procedimento è noto. Qui ci troviamo in presenza di un vincolo e dobbiamo adeguare l'analisi di conseguenza.

Ho solo capito che si può usare il metodo di sostituzione nel caso in cui il vincolo si presenti in forma parametrica o comunque possa essere espresso mediante equazioni parametriche, il secondo invece quando il vincolo non sia esprimibile parametricamente.


Perfetto emt

Poiché quindi tu hai la funzione

f(x,y)=xy

da studiare sul vincolo

g(x,y)=x^2+4y^2-1=0

hai fatto la scelta migliore, ovvero utilizzare i moltiplicatori di Lagrange. Sei quindi giunta ad avere il sistema:

\left\{\begin{matrix}y+2\lambda x=0 \\ x+8\lambda y =0 \\ x^2+4y^2-1=0\end{matrix}

Perfetto direi emt

Ora, hai proceduto alla perfezione fino a quando sei arrivata ad avere:

\lambda = \pm \frac{1}{4}

Che, ricordiamo hai ottenuto dalla seconda equazione del sistema. Andiamo quindi a vedere che succede al sistema in corrispondenza di questi valori.

Per \lambda = \frac{1}{4}:

\left\{\begin{matrix}\lambda = \frac{1}{4} \\ y=\frac{1}{2}x \\ x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}

Dove x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}

deriva dalla sostituzione di

y=\frac{1}{2}x

nella terza equazione.

Sostituendo tali valori di x appena trovati nella seconda equazione dell'ultimo sistema, troviamo i punti:

A(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{4}) \ e \ B(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4})

Andiamo ora a vedere che succede per \lambda=-\frac{1}{4}

Procedi come ho appena fatto e trovi i punti:

C(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4}) \ e \ D(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{4})

Spero fin qui di essere stato chiaro emt

nè so poi come dovrei procedere per capire se i punti critici trovati sono di minimo o massimo!

Ora, trovati i punti critici, per vedere se sono di minimo o di massimo procedi in questo modo.

Il tuo vincolo è un insieme compatto (si vede subito in quanto è un ellisse). Inoltre la funzione f(x,y) è continua, quindi per il teorema di Weierstrass siamo sicuri che la funzione ammette massimo e minimo assoluto sul vincolo considerato. Come fare quindi a vedere di che natura sono i punti critici?

Basta andare nella funzione di partenza e sostituire i punti trovati.

Abbiamo:

f(A)=-\frac{1}{4}

f(B)=-\frac{1}{4}

f(C)=\frac{1}{4}

f(C)=\frac{1}{4}

Ora, per quanto detto prima possiamo affermare che il valore più grande tra quelli trovati è il massimo (assoluto), quello più piccolo il minimo (assoluto).

Pertanto:

min[f(x,y)] = -\frac{1}{4} assunto in A e in B

max[f(x,y)] = \frac{1}{4} assunto in C e in D

Nota bene: Non deve spaventarti il fatto di aver trovato più punti in cui la funzione ammette max e/o minimo.
Infatti dalla teoria sappiamo che i valori di massimo e minimo assoluto sono unici, ma non i punti in cui essi cadono.

Detto questo abbiam finito emt

Ultima cosa: Se il vincolo non è un insieme compatto devi necessariamente ricorrere a studiare l'Hessiana emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, MaryADC90, Ifrit, AnimeLover93, CarFaby, Ludacris, FlashNoob98

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #47536

avt
MaryADC90
Frattale
Chiarisssssimo emt

Ho capito tutto, dunque se l'insieme è un compatto (ossia se è chiuso e limitato) allora posso procedere come visto, altrimenti passo allo studio dell'Hessiana facendo così:

1. Costruisco la matrice hessiana e ne calcolo il determinante
2. Valuto il determinante nei punti critici
3. Se viene minore di zero, la matrice è indefinita; se viene maggiore di zero, la matrice è definita positiva e per vedere se il punto è di minimo o di massimo valuto il primo termine della matrice nel punto critico; se viene uguale a zero pongo g=g(t) e cerco i punti di minimo e massimo per la funzione nella sola variabile t facendo la derivata prima e studiandone il segno.

L'ultima cosa che ti chiedo è se per favore puoi spiegarmi il metodo di sostituzione... Non riesco a capire come funziona, forse perchè ho ancora un pò di difficoltà con le rappresentazioni in forma parametrica emt
Ringraziano: Galois

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #47563

avt
Galois
Amministratore
Son contento abbia capito emt

L'ultima cosa che ti chiedo è se per favore puoi spiegarmi il metodo di sostituzione... Non riesco a capire come funziona, forse perchè ho ancora un pò di difficoltà con le rappresentazioni in forma parametrica


Molto semplicemente devi esplicitare il vincolo in funzione di un parametro, sostituirlo nella funzione di partenza (che diventerà funzione in una variabile) e trovare i punti critici di questa emt

Può sembrare articolato, ma ti assicuro che è il metodo più semplice e veloce emt

A titolo di esempio ti invito a dare un'occhiata a questa discussione.

Se giri sul forum ce ne sono molte altre che potrebbero aiutarti a capire emt

Se poi hai ancora dubbi non esitare a chiedere, magari postando l'esercizio su cui hai difficoltà emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, MaryADC90, CarFaby

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #47840

avt
MaryADC90
Frattale
Discussione letta... emt
Grazie mille, Galois! emt
Ringraziano: Galois

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #48201

avt
zeri
Punto
Ciao ragazzi, ma se dovessi fare un esercizio simile ma su un vincolo del tipo: { x >= 0, y >= 0, x+y <= 1 } come dovrei procedere?

Re: Come trovare massimi e minimi vincolati di una funzione in 2 variabili reali #48220

avt
Omega
Amministratore
Ciao, in casi del genere non puoi ricorrere al metodo dei moltiplicatori perché il vincolo è definito mediante disequazioni.

Il procedimento cambia radicalmente, e se cerchi "massimi e minimi vincolo disequazioni" avrai modo di scoprirlo. emt
Ringraziano: luciapz
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Os